如何求矩阵的逆

在 [A | I] 上做高斯-若尔当消元、伴随矩阵公式，以及 2×2 的快捷算法，并说明矩阵可逆需要满足的条件。

方阵的逆 A⁻¹ 是能把它的作用抵消掉的矩阵：A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I。只有当 det(A) ≠ 0 时它才存在。行列式为零的矩阵称为奇异矩阵，它根本没有逆——没有大的，也没有近似的，就是没有。

2×2 的快捷算法

交换主对角线元素，把副对角线取相反数，再除以行列式：

在增广矩阵上做高斯-若尔当

这是通用方法，也是我们的计算器逐步展示的方法。把 A 与单位矩阵并排写好，然后做行变换，直到左半边变成单位矩阵。此时右半边变成的样子就是 A⁻¹：

如果某一步左边出现了整行为零，就停下：矩阵是奇异的，逆不存在。

伴随矩阵公式

A⁻¹ = adj(A) / det(A)，其中伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置。先构造代数余子式矩阵 C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j)，转置它，再除以行列式。

这个公式优雅，证明里也常用它，但它需要 n² 个 n−1 阶行列式。超过 3×3 就改用高斯-若尔当。

有用的检验与性质

• 务必验算：把答案与原矩阵相乘，确认得到单位矩阵。
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹——顺序会颠倒。
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• 正交矩阵满足 A⁻¹ = Aᵀ，求逆几乎不费力气。
• 解 Ax = b 时，不要先算 A⁻¹ 再相乘，而应对 [A | b] 做行化简——运算更少，数值精度也更好。