矩阵的秩是什么？

把秩理解为线性无关行的个数，如何用消元法求它，以及满秩对可逆性和线性方程组意味着什么。

矩阵的秩是线性无关行的个数——等价地，也是线性无关列的个数。这两个数永远相等，这一事实重要到有专门的名字：行秩等于列秩定理。

怎么求

把矩阵化为阶梯形，数一数非零行的个数，那就是秩。行变换从不改变秩，这正是该方法奏效的原因。

这里第二行不过是第一行的两倍，没带来新信息，于是塌缩为零。

上界与满秩

对 m×n 矩阵，秩 ≤ min(m, n)。达到这一上界的矩阵称为满秩。对方阵而言，满秩等同于可逆，也等同于行列式非零——同一个性质的三种说法。

为什么重要

• 克罗内克-卡佩利定理：方程组 Ax = b 有解，当且仅当 秩(A) = 秩([A | b])。若这个共同的秩等于未知数个数，则解唯一；否则有无穷多解，含 n − 秩 个自由参数。
• 秩-零化度定理：秩(A) + 零化度(A) = n，即列数。
• 秩给出线性映射像空间的维数，因此衡量了该变换把空间压缩了多少。
• 秩(A·B) ≤ min(秩(A), 秩(B))——相乘永远不会制造出线性无关性。