矩阵乘法是怎么运算的
行乘列的规则、为什么维数必须匹配、为什么 AB ≠ BA，以及哪些性质依然成立。
要把 A（m×n）乘以 B（n×p），内层维数必须匹配：A 的列数必须等于 B 的行数。结果是 m×p 的矩阵。
规则
乘积的第 (i, j) 个元素，是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的点积：
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
验算第一个元素：1·5 + 2·7 = 19。打开分步解答面板，我们的计算器会展示每一个这样的展开式。
AB 不等于 BA
矩阵乘法不满足交换律。BA 经常根本没有定义；即使两个乘积都存在，通常也是不同的矩阵。把一串变换的顺序颠倒，结果确实会变——先旋转再反射，和先反射再旋转不是一回事。
仍然成立的性质
- 结合律：
(A·B)·C = A·(B·C) - 分配律：
A·(B + C) = A·B + A·C - 单位元：
I·A = A·I = A - 转置会反序：
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - 行列式相乘：
det(A·B) = det(A)·det(B)
还有一点要当心：A·B = 0 并不意味着 A 或 B 是零矩阵。与普通数不同，矩阵存在零因子。
幂
Aⁿ 只对方阵有意义，而 A⁰ 定义为单位矩阵。用反复平方来算——A⁸ = ((A²)²)²——只需 3 次乘法，而不是 7 次。