逆行列の求め方

[A | I] に対するガウス・ジョルダンの消去法、余因子行列による公式、2×2 の近道、そして正則であるための条件。

正方行列の逆行列 A⁻¹ は、その働きを打ち消す行列です：A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I。存在するのは det(A) ≠ 0 のときだけです。行列式が 0 の行列は特異と呼ばれ、逆行列はまったく存在しません。

2×2 の近道

主対角を入れ替え、反対角の符号を変え、行列式で割ります。

拡大行列でのガウス・ジョルダン法

これが一般的な方法で、当計算機が一歩ずつ表示するのもこれです。A の隣に単位行列を並べ、左半分が単位行列になるまで行変形を続けます。そのとき右半分に現れているものが A⁻¹ です。

途中で左側の 1 行がすべて 0 になったら、そこで終わりです。行列は特異で、逆行列は存在しません。

余因子行列による公式

A⁻¹ = adj(A) / det(A)。ここで adj(A) は余因子行列の転置です。余因子行列 C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j) を作り、転置して、行列式で割ります。

美しく、証明でも使われる公式ですが、n−1 次の行列式が n² 個必要です。3×3 を超えたらガウス・ジョルダン法を使いましょう。

役に立つ確認と性質

• 必ず検算を：答えと元の行列を掛けて、単位行列になることを確かめます。
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹——順序が入れ替わります。
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• 直交行列は A⁻¹ = Aᵀ を満たすので、逆行列はただで手に入ります。
• Ax = b を解くときは、A⁻¹ を求めて掛けてはいけません。[A | b] を行簡約するほうが、演算数も少なく数値的にも正確です。