行列の積の仕組み
行×列の規則、なぜサイズが合っていなければならないのか、なぜ AB ≠ BA なのか、それでも成り立つ性質は何か。
A（m×n）と B（n×p）を掛けるには、内側のサイズが一致していなければなりません。つまり A の列数が B の行数と等しいことです。結果は m×p になります。
規則
積の (i, j) 成分は、A の第 i 行と B の第 j 列の内積です。
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
最初の成分を確かめると 1·5 + 2·7 = 19。計算過程のパネルを開けば、当計算機はこの展開をひとつ残らず表示します。
AB は BA ではない
行列の積は可換ではありません。BAはそもそも定義されないことも多く、両方の積が存在しても普通は別の行列になります。変換の積の順序を入れ替えれば結果は本当に変わります——回転してから鏡映するのと、鏡映してから回転するのは同じではありません。
それでも成り立つこと
- 結合法則：
(A·B)·C = A·(B·C) - 分配法則：
A·(B + C) = A·B + A·C - 単位元：
I·A = A·I = A - 転置は順序を逆にする：
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - 行列式は掛け算になる：
det(A·B) = det(A)·det(B)
もうひとつ注意を。A·B = 0 だからといって A や B が零行列とは限りません。普通の数と違い、行列には零因子があります。
べき乗
Aⁿ は正方行列にしか意味がなく、A⁰ は単位行列と定義されます。繰り返し 2 乗して求めれば——A⁸ = ((A²)²)²——掛け算は 7 回ではなく 3 回で済みます。