Cara menghitung determinan matriks

Empat cara menghitung determinan — rumus 2×2, aturan Sarrus, ekspansi kofaktor Laplace, dan eliminasi Gauss — beserta kapan masing-masing dipakai.

Determinan adalah satu bilangan yang melekat pada matriks persegi. Ia menjawab satu pertanyaan di atas segalanya: apakah matriksnya punya invers? Determinan nol berarti baris-barisnya bergantung linear, matriksnya singular, dan inversnya tidak ada. Secara geometris, determinan adalah faktor bertanda yang menyatakan seberapa besar matriks itu menskalakan luas (2×2) atau volume (3×3).

Rumus 2×2

Pada matriks 2×2, determinan adalah hasil kali diagonal utama dikurangi hasil kali diagonal sekunder:

Jadi untuk [[1, 2], [3, 4]] determinannya 1·4 − 2·3 = −2. Hasil negatif itu wajar: tandanya memberi tahu bahwa transformasinya membalik orientasi.

Aturan Sarrus (hanya 3×3)

Untuk matriks 3×3, salin dua kolom pertama ke sebelah kanan matriks, jumlahkan tiga hasil kali yang menurun ke kanan, lalu kurangi tiga yang menurun ke kiri:

Sarrus cepat dan mudah diingat, tetapi hanya berlaku untuk 3×3. Tidak ada versi 4×4 — kesalahan yang sangat sering muncul saat ujian.

Ekspansi Laplace (kofaktor)

Pilih baris atau kolom mana pun, lalu tulis determinan sebagai jumlah elemen dikali kofaktornya. Kofaktor C(i,j) adalah (−1)^(i+j) dikali minor — determinan matriks tanpa baris i dan kolom j.

Ekspansi kofaktor berlaku untuk ukuran berapa pun, dan inilah metode pilihan secara manual ketika satu baris atau kolom banyak nolnya: setiap nol menghapus satu minor utuh. Namun biayanya tumbuh seperti n!, jadi tidak mungkin dipakai untuk matriks besar.

Eliminasi Gauss

Inilah yang dilakukan komputer. Ubah matriks menjadi segitiga atas dengan operasi baris elementer, lalu kalikan diagonalnya. Tiga aturan menjaga pembukuannya tetap benar:

• Menukar dua baris mengalikan determinan dengan −1.
• Mengalikan satu baris dengan k mengalikan determinan dengan k.
• Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain tidak mengubah determinan — inilah operasi andalannya.

Biayanya sekitar n³/3 operasi, bukan n!, dan itulah sebabnya kalkulator kami memakai eliminasi untuk apa pun di atas 3×3.

Sifat yang layak dihafal

• det(Aᵀ) = det(A)
• det(A·B) = det(A)·det(B)
• det(A⁻¹) = 1 / det(A)
• det(k·A) = kⁿ·det(A) untuk matriks n×n — skalarnya mengenai setiap dari n baris
• Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali diagonalnya