Cara mencari invers matriks

Eliminasi Gauss-Jordan pada [A | I], rumus adjoin, dan jalan pintas 2×2 — lengkap dengan syarat agar suatu matriks punya invers.

Invers A⁻¹ dari matriks persegi adalah matriks yang membatalkan kerjanya: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Ia hanya ada bila det(A) ≠ 0. Matriks dengan determinan nol disebut singular, dan sama sekali tidak punya invers — tidak yang besar, tidak yang hampiran, tidak ada.

Jalan pintas 2×2

Tukar diagonal utama, balik tanda diagonal sekunder, lalu bagi dengan determinan:

Gauss-Jordan pada matriks diperbesar

Inilah metode umumnya, dan inilah yang ditampilkan kalkulator kami langkah demi langkah. Tulis A di samping matriks identitas, lalu lakukan operasi baris sampai separuh kirinya menjadi identitas. Apa pun yang terbentuk di separuh kanan itulah A⁻¹:

Jika pada suatu titik ada baris di sebelah kiri yang seluruhnya nol, berhentilah: matriksnya singular dan inversnya tidak ada.

Rumus adjoin (kofaktor)

A⁻¹ = adj(A) / det(A), dengan adjoin adalah transpose dari matriks kofaktor. Bentuk matriks kofaktor C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transpose-kan, lalu bagi dengan determinan.

Rumusnya elegan dan dipakai dalam pembuktian, tetapi menuntut n² determinan berukuran n−1. Di atas 3×3, pakai Gauss-Jordan.

Pemeriksaan dan sifat yang berguna

• Selalu periksa: kalikan jawaban Anda dengan matriks asal dan pastikan hasilnya identitas.
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ — urutannya terbalik.
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• Matriks ortogonal memenuhi A⁻¹ = Aᵀ, sehingga membaliknya gratis.
• Untuk menyelesaikan Ax = b, jangan hitung A⁻¹ lalu mengalikannya. Reduksi saja [A | b] — lebih sedikit operasi dan lebih akurat secara numerik.