Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan

Bentuk eselon baris, bentuk eselon baris tereduksi, pivot, dan tiga operasi baris elementer, dikerjakan pada matriks nyata.

Eliminasi adalah algoritma paling berguna dalam aljabar linear. Rank, determinan, invers, dan penyelesaian sistem persamaan linear semuanya lahir darinya. Dasarnya tiga operasi baris elementer, dan tak satu pun mengubah himpunan penyelesaian sistem yang mendasarinya:

1. Menukar dua baris: B(i) ↔ B(j)
2. Mengalikan satu baris dengan skalar tak nol: B(i) → k·B(i)
3. Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain: B(i) → B(i) + k·B(j)

Bentuk eselon baris

Sebuah matriks berbentuk eselon baris bila:

• baris yang seluruhnya nol berada di bawah;
• setiap elemen tak nol pertama (pivot) berada tepat di sebelah kanan pivot baris di atasnya;
• semua yang berada di bawah sebuah pivot bernilai nol.

Bentuk eselon baris tereduksi

Bentuk tereduksi melangkah lebih jauh: setiap pivot bernilai 1 dan menjadi satu-satunya elemen tak nol di kolomnya. Yang penting: setiap matriks punya tepat satu bentuk eselon baris tereduksi — hasilnya tidak bergantung pada urutan operasi yang Anda lakukan.

Algoritmanya, langkah demi langkah

1. Mulai dari kiri atas. Cari elemen terbesar pada kolom saat ini — ini disebut pivot parsial, dan menjaga galat pembulatan tetap kecil.
2. Jika seluruh kolomnya nol, geser satu kolom ke kanan dan ulangi.
3. Tukar baris itu ke posisi pivot.
4. Bagi baris pivot dengan pivotnya sendiri sehingga pivot menjadi 1.
5. Kurangkan kelipatan baris pivot dari semua baris lain untuk menolkan sisa kolom.
6. Turun satu baris, geser satu kolom ke kanan, lalu ulangi.

Jika pada langkah 5 Anda hanya menolkan baris di bawah pivot, hasilnya eliminasi Gauss (bentuk eselon). Bila baris di atasnya juga dibersihkan, hasilnya Gauss-Jordan (bentuk tereduksi).

Membaca penyelesaiannya

• Penyelesaian tunggal: setiap kolom matriks koefisien punya pivot.
• Tak hingga banyaknya: ada kolom tanpa pivot — variabel itu bebas.
• Tidak ada penyelesaian: muncul baris 0 0 0 | c dengan c ≠ 0, yang menyatakan 0 = c.