Apa itu rank sebuah matriks?

Rank sebagai banyaknya baris yang bebas linear, cara menghitungnya lewat eliminasi, dan arti rank penuh bagi keterbalikan serta sistem linear.

Rank sebuah matriks adalah banyaknya baris yang bebas linear — setara dengan banyaknya kolom yang bebas linear. Kedua bilangan itu selalu sama, sebuah fakta yang cukup penting sehingga punya nama sendiri: teorema rank baris sama dengan rank kolom.

Cara menghitungnya

Reduksi matriksnya, lalu hitung baris yang tidak nol. Bilangan itulah rank-nya. Operasi baris tidak pernah mengubah rank, dan justru karena itulah cara ini bekerja.

Baris kedua di sini hanya dua kali baris pertama, jadi tidak membawa informasi baru dan runtuh menjadi nol.

Batas dan rank penuh

Untuk matriks m×n berlaku rank ≤ min(m, n). Matriks yang mencapai batas itu disebut ber-rank penuh. Pada matriks persegi, rank penuh sama artinya dengan punya invers, dan sama artinya dengan determinan tak nol — tiga cara mengucapkan satu sifat yang sama.

Kenapa ini penting

• Teorema Rouché–Capelli: sistem Ax = b konsisten tepat ketika rank(A) = rank([A | b]). Bila rank bersama itu sama dengan banyaknya variabel, penyelesaiannya tunggal; jika tidak, penyelesaiannya tak hingga dengan n − rank parameter bebas.
• Teorema rank-nulitas: rank(A) + nulitas(A) = n, banyaknya kolom.
• Rank menyatakan dimensi peta dari pemetaan linear itu, jadi ia mengukur seberapa banyak ruang yang diruntuhkannya.
• rank(A·B) ≤ min(rank(A), rank(B)) — perkalian tidak pernah menciptakan kebebasan linear.