Cara kerja perkalian matriks

Aturan baris kali kolom, kenapa dimensinya harus cocok, kenapa AB ≠ BA, dan sifat-sifat yang tetap berlaku.

Untuk mengalikan A (m×n) dengan B (n×p), dimensi dalamnya harus cocok: banyaknya kolom A harus sama dengan banyaknya baris B. Hasilnya berukuran m×p.

Aturannya

Elemen (i, j) pada hasil kali adalah hasil kali titik baris i dari A dengan kolom j dari B:

c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)

Periksa elemen pertamanya: 1·5 + 2·7 = 19. Kalkulator kami menampilkan setiap penjabaran seperti ini ketika Anda membuka panel langkah demi langkah.

AB bukan BA

Perkalian matriks tidak komutatif. Sering kali BA bahkan tidak terdefinisi, dan ketika kedua hasil kali itu ada, biasanya keduanya matriks yang berbeda. Membalik urutan hasil kali transformasi benar-benar mengubah kejadiannya — memutar lalu mencerminkan tidak sama dengan mencerminkan lalu memutar.

Yang tetap berlaku

• Asosiatif: (A·B)·C = A·(B·C)
• Distributif: A·(B + C) = A·B + A·C
• Identitas: I·A = A·I = A
• Transpose membalik urutan: (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ
• Determinan saling mengalikan: det(A·B) = det(A)·det(B)

Satu peringatan lagi: A·B = 0 tidak berarti A atau B nol. Berbeda dengan bilangan biasa, matriks punya pembagi nol.

Pangkat

Aⁿ hanya bermakna untuk matriks persegi, dan A⁰ didefinisikan sebagai matriks identitas. Menghitungnya dengan pengkuadratan berulang — A⁸ = ((A²)²)² — hanya butuh 3 perkalian, bukan 7.