Как вычислить определитель матрицы

Четыре способа найти определитель — формула 2×2, правило Саррюса, разложение Лапласа по алгебраическим дополнениям и метод Гаусса — и когда какой выбирать.

Определитель — это одно число, связанное с квадратной матрицей. Прежде всего он отвечает на один вопрос: обратима ли матрица? Нулевой определитель означает, что строки линейно зависимы, матрица вырожденная и обратной не существует. Геометрически определитель — это знаковый коэффициент, с которым матрица растягивает площадь (2×2) или объём (3×3).

Формула 2×2

Для матрицы 2×2 определитель равен произведению главной диагонали минус произведение побочной:

Для [[1, 2], [3, 4]] получаем 1·4 − 2·3 = −2. Отрицательное значение — это нормально: знак говорит, что преобразование меняет ориентацию.

Правило Саррюса (только 3×3)

Для матриц 3×3 припишите справа первые два столбца, сложите три произведения, идущие вправо вниз, и вычтите три, идущие влево вниз:

Правило Саррюса быстрое и легко запоминается, но работает только для 3×3. Версии для 4×4 не существует — очень частая ошибка на экзамене.

Разложение Лапласа

Возьмите любую строку или столбец и запишите определитель как сумму элементов, умноженных на их алгебраические дополнения. Дополнение C(i,j) равно (−1)^(i+j), умноженному на минор — определитель матрицы без строки i и столбца j.

Разложение работает для любого размера и вручную удобно, когда в строке или столбце много нулей: каждый ноль убирает целый минор. Однако его сложность растёт как n!, поэтому для больших матриц он безнадёжен.

Метод Гаусса

Именно так считает компьютер. Приведите матрицу к верхнетреугольному виду элементарными преобразованиями строк и перемножьте диагональ. Три правила держат учёт в порядке:

• Перестановка двух строк умножает определитель на −1.
• Умножение строки на k умножает определитель на k.
• Прибавление кратного одной строки к другой не меняет определитель — это рабочая операция.

Сложность — около n³/3 операций вместо n!, поэтому наш калькулятор для всего крупнее 3×3 использует именно исключение.

Свойства, которые стоит запомнить

• det(Aᵀ) = det(A)
• det(A·B) = det(A)·det(B)
• det(A⁻¹) = 1 / det(A)
• det(k·A) = kⁿ·det(A) для матрицы n×n — множитель затрагивает каждую из n строк
• У треугольной матрицы определитель равен произведению диагонали