Как найти обратную матрицу

Метод Гаусса-Жордана для [A | I], формула через присоединённую матрицу и приём для 2×2 — вместе с условиями обратимости.

Обратная матрица A⁻¹ отменяет действие исходной: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Она существует только при det(A) ≠ 0. Матрицу с нулевым определителем называют вырожденной, и обратной у неё нет вовсе — ни большой, ни приближённой, никакой.

Приём для 2×2

Поменяйте местами элементы главной диагонали, смените знак у побочной и поделите на определитель:

Гаусс-Жордан на расширенной матрице

Это общий метод, и именно его наш калькулятор показывает по шагам. Припишите к A единичную матрицу и выполняйте преобразования строк, пока левая половина не станет единичной. Во что превратилась правая половина — это и есть A⁻¹:

Если в какой-то момент слева получилась полностью нулевая строка — остановитесь: матрица вырожденная, обратной не существует.

Через присоединённую матрицу

A⁻¹ = adj(A) / det(A), где присоединённая матрица — это транспонированная матрица алгебраических дополнений. Постройте матрицу дополнений C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), транспонируйте её и поделите на определитель.

Формула красивая, и именно её используют в доказательствах, но она требует n² определителей размера n−1. Выше 3×3 берите Гаусса-Жордана.

Полезные проверки и свойства

• Всегда проверяйте: умножьте ответ на исходную матрицу и убедитесь, что получилась единичная.
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ — порядок меняется на обратный.
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• У ортогональной матрицы A⁻¹ = Aᵀ, так что обращение достаётся бесплатно.
• Чтобы решить Ax = b, не считайте A⁻¹ с последующим умножением. Приводите [A | b] — меньше операций и выше численная точность.