Как пользоваться этим матричным калькулятором
- Задайте размер. Кнопки плюс и минус над каждой матрицей добавляют и убирают строки и столбцы, вплоть до 50×50. Матрица B нужна только операциям с двумя матрицами.
- Введите числа. Между ячейками можно переходить стрелками, как в таблице. Десятичные и отрицательные значения допустимы. Кнопка Случайно заполнит матрицу, если вы просто хотите поэкспериментировать.
- Выберите операцию. Результат появится сразу. Кнопка Показать шаги откроет решение и, где методов несколько, позволит переключаться между ними.
Что можно вычислить
- Определитель — методом Гаусса, разложением по минорам, правилом Саррюса или методом Монтанте.
- Обратную матрицу — методом Гаусса-Жордана над [A | I], через присоединённую матрицу или методом Монтанте.
- Умножение — отдельно A×B и B×A, с каждым элементом, расписанным как скалярное произведение.
- Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид, а также ранг.
- Собственные значения и векторы, а также характеристический многочлен.
- LU-разложение и разложение Холецкого.
- Сложение, вычитание, транспонирование, след, умножение на число и целые степени.
Полностью разобранный пример
Возьмём A = [[4, 7], [2, 6]] и найдём обратную матрицу. Метод Гаусса-Жордана приписывает справа единичную матрицу и приводит левую половину к единичной:
Правая половина и есть A⁻¹. Пошаговое решение показывает каждое преобразование строк, которое к этому привело — R1 → (1/4)·R1, R2 → R2 − 2·R1 и так далее, — и всё в точных дробях, потому что движок считает в рациональной арифметике, а не в числах с плавающей точкой. Вставьте результат в B, нажмите A × B — должна получиться единичная матрица. Именно так проверяют любую обратную.
Определитель, ранг или обратная — что вам нужно?
Все три описывают одно и то же свойство с разных сторон, и перепутать их легко.
- Определитель — одно число, и существует только у квадратных матриц. Берите его, когда нужен ответ «да или нет» об обратимости или коэффициент растяжения.
- Ранг работает с любой формой, квадратной и нет, и считает, сколько строк несут независимую информацию. Берите его для прямоугольных матриц и для вопроса о совместности системы.
- Обратная матрица — это целая матрица, и она существует только при ненулевом определителе. Берите её, когда преобразование действительно нужно обратить, но для решения
Ax = b приведение [A | b] быстрее и точнее.
Для квадратной матрицы все три совпадают: ненулевой определитель ⟺ полный ранг ⟺ обратная существует.
Частые вопросы
- Калькулятор бесплатный?
- Да, без регистрации и без ограничения на число вычислений. Он живёт за счёт рекламы.
- Мои матрицы куда-нибудь отправляются?
- Нет. Все вычисления идут в вашем браузере на JavaScript; числа не покидают устройство. Закрыли вкладку — их больше нет.
- Почему шаги показаны дробями, а не десятичными?
- Движок пошагового решения работает в точной рациональной арифметике, поэтому 3/5 остаётся 3/5, а не превращается в 0,6000000001. Панель в любой момент переключается на десятичные.
- Какой максимальный размер матрицы?
- 50×50 для результата. Пошаговое решение заканчивается на 8×8: выше пришлось бы показать сотни промежуточных матриц, которые уже ничему не научат.
- Почему нет пошагового решения для собственных значений?
- Они вычисляются итерационными численными алгоритмами — методами Якоби и QR. Их промежуточные значения это артефакты округления, а не рассуждение, которое можно повторить вручную.
- Можно ли поделиться вычислением?
- Да. Нажмите «Скопировать ссылку» рядом с результатом, и адрес унесёт ваши матрицы с собой.
Разобраться в методах
У каждой операции есть руководство с математикой за ней: определители, обратная матрица, метод Гаусса, ранг, умножение матриц и LU-разложение.