Comment utiliser ce calculateur matriciel
- Choisissez la taille. Les boutons plus et moins au-dessus de chaque matrice ajoutent ou retirent des lignes et des colonnes, jusqu’à 50×50. La matrice B ne sert qu’aux opérations à deux matrices.
- Saisissez les nombres. Déplacez-vous d’une case à l’autre avec les flèches, comme dans un tableur. Les décimaux et les négatifs sont acceptés. Aléatoire remplit la matrice si vous voulez simplement expérimenter.
- Choisissez une opération. Le résultat apparaît aussitôt. Afficher les étapes montre comment on y arrive et, lorsque plusieurs méthodes existent, permet de passer de l’une à l’autre.
Ce que vous pouvez calculer
- Déterminant — par pivot de Gauss, développement de Laplace, règle de Sarrus ou méthode de Montante.
- Matrice inverse — par Gauss-Jordan sur [A | I], la formule de la comatrice ou la méthode de Montante.
- Multiplication — A×B et B×A séparément, chaque coefficient développé en produit scalaire.
- Forme échelonnée et forme échelonnée réduite, ainsi que le rang.
- Valeurs propres et vecteurs propres, ainsi que le polynôme caractéristique.
- Décompositions LU et de Cholesky.
- Addition, soustraction, transposée, trace, multiplication par un scalaire et puissances entières.
Un exemple complet
Prenez A = [[4, 7], [2, 6]] et demandez l’inverse. Gauss-Jordan écrit l’identité à côté de A et réduit la moitié gauche jusqu’à ce qu’elle devienne l’identité :
La moitié droite est A⁻¹. Le détail des étapes montre chaque opération sur les lignes qui y a mené — L1 → (1/4)·L1, L2 → L2 − 2·L1, et ainsi de suite — en fractions exactes, parce que le moteur travaille en arithmétique rationnelle plutôt qu’en virgule flottante. Collez le résultat dans B, calculez A × B : vous devez retrouver l’identité, et c’est ainsi que l’on vérifie n’importe quel inverse.
Déterminant, rang ou inverse : lequel vous faut-il ?
Ces trois notions décrivent la même propriété sous des angles différents, et il est facile de se tromper de mesure.
- Le déterminant est un seul nombre et n’existe que pour les matrices carrées. Utilisez-le quand vous cherchez une réponse par oui ou non sur l’inversibilité, ou un facteur d’échelle.
- Le rang s’applique à toutes les formes, carrées ou non, et compte les lignes qui portent une information indépendante. Utilisez-le pour les matrices rectangulaires et pour savoir si un système admet des solutions.
- L’inverse est une matrice entière et n’existe que si le déterminant est non nul. Utilisez-le quand vous devez réellement défaire la transformation — mais pour résoudre
Ax = b, réduire [A | b] reste plus rapide et plus précis.
Pour une matrice carrée, les trois coïncident exactement : déterminant non nul ⟺ rang plein ⟺ existence de l’inverse.
Questions fréquentes
- Le calculateur est-il gratuit ?
- Oui, sans compte et sans limite sur le nombre de calculs. Il est financé par la publicité.
- Mes matrices sont-elles envoyées quelque part ?
- Non. Tous les calculs s’exécutent dans votre navigateur, en JavaScript ; les nombres ne quittent jamais votre appareil. Fermer l’onglet les efface.
- Pourquoi les étapes sont-elles en fractions et non en décimaux ?
- Le moteur pas à pas travaille en arithmétique rationnelle exacte, si bien que 3/5 reste 3/5 au lieu de dériver vers 0,6000000001. Vous pouvez basculer l’affichage en décimaux quand vous le souhaitez.
- Quelle est la plus grande matrice acceptée ?
- 50×50 pour les résultats. Le détail des étapes s’arrête à 8×8 : au-delà, il faudrait des centaines de matrices intermédiaires qui n’apprendraient plus rien.
- Pourquoi n’y a-t-il pas d’étapes pour les valeurs propres ?
- Elles sont obtenues par des algorithmes numériques itératifs, Jacobi et QR. Leurs valeurs intermédiaires sont des artefacts d’arrondi, pas un raisonnement reproductible à la main.
- Puis-je partager un calcul ?
- Oui. Cliquez sur « Copier le lien » à côté du résultat et l’URL emportera vos matrices avec elle.
Comprendre les méthodes
Chaque opération a son guide, qui en explique les mathématiques : les déterminants, la matrice inverse, le pivot de Gauss, le rang, la multiplication de matrices et la décomposition LU.