Appuyez sur eig(A) pour les valeurs propres et sur eigvec(A) pour les vecteurs propres associés. Le polynôme caractéristique se trouve dans l’onglet Décompositions.
Ce que décrivent les valeurs propres
Un vecteur propre est une direction que la transformation ne fait pas tourner : A·v = λ·v, donc v est seulement étiré ou comprimé, d’un facteur λ appelé valeur propre. Tout ce qu’une matrice fait subir à l’espace se décompose en ces étirements — d’où la présence des valeurs propres partout où il faut comprendre une application linéaire et pas seulement l’appliquer : analyse en composantes principales, modes de vibration, stabilité d’une équation différentielle.
Deux vérifications sont immédiates et méritent d’être systématiques : la somme des valeurs propres vaut la trace, c’est-à-dire la somme de la diagonale, et leur produit vaut le déterminant. Si l’une des deux ne tombe pas juste, il y a une erreur de calcul.
Exemple résolu
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
Les valeurs propres sont 1 et 3 ; la trace vaut 4 et le déterminant 3, ce qui concorde. Les vecteurs propres sont (1, −1) et (1, 1), perpendiculaires entre eux — et ce n’est pas un hasard : cette matrice est symétrique, et les matrices symétriques ont toujours des valeurs propres réelles et des vecteurs propres orthogonaux.
Erreurs fréquentes
- Retrancher λ à tous les coefficients. λI ne porte que sur la diagonale ; le reste ne change pas.
- Accepter le vecteur nul. Il est exclu par définition, même s’il vérifie l’équation.
- Attendre un vecteur propre unique. Tout multiple non nul en est un aussi. Comparez des directions, pas des coefficients.
- Supposer les valeurs propres réelles. Une matrice de rotation ne laisse aucune direction réelle invariante : ses valeurs propres sont complexes.