Saisissez une matrice carrée, ouvrez l’onglet Avancé et utilisez eig(A) pour les valeurs propres ou eigvec(A) pour les vecteurs propres. L’onglet Décompositions donne en plus le polynôme caractéristique en arithmétique exacte. Les trois sont des vues différentes d’une même question, que le reste de cette page développe.
Ce qu’est un vecteur propre
La plupart des vecteurs changent de direction quand une matrice agit sur eux. Un vecteur propre est l’une des rares directions qui survivent : la matrice se contente de l’étirer ou de le comprimer. Le facteur correspondant est la valeur propre. Formellement, A·v = λ·v pour un vecteur v non nul.
Tout ce qu’une matrice fait à l’espace est un mélange d’étirements le long de ces directions privilégiées, et c’est pourquoi elles surgissent partout où une transformation linéaire doit être comprise et pas seulement appliquée — analyse en composantes principales, modes de vibration, stabilité d’une équation différentielle, vecteur de PageRank.
Le polynôme caractéristique
L’équation qui les définit, A·v = λ·v, se réécrit (A − λI)·v = 0. Un v non nul ne peut la résoudre que si A − λI est singulière — sinon la seule solution est v = 0 — et une matrice est singulière exactement quand son déterminant s’annule. Les valeurs propres sont donc les valeurs de λ qui rendent det(A − λI) = 0, et cette expression est le polynôme caractéristique.
Pour une matrice n×n il est de degré n, et deux de ses coefficients se lisent directement sur la matrice sans aucun développement : le coefficient juste sous le terme dominant est l’opposé de la trace, et le terme constant est le déterminant au signe (−1)ⁿ près. Les deux constituent d’excellentes vérifications d’un calcul à la main.
Exemple résolu
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
Les racines 1 et 3 sont les valeurs propres. Notez les vérifications : la trace vaut 4 et le coefficient de λ vaut −4 ; le déterminant vaut 3, et le terme constant aussi. Le vecteur propre pour λ = 3 est (1, 1) — la matrice triple tout ce qui suit cette diagonale — et pour λ = 1 c’est (1, −1), que la matrice laisse intact. Les deux sont perpendiculaires, et ce n’est pas un hasard : cette matrice est symétrique, et les matrices symétriques ont toujours des vecteurs propres orthogonaux et des valeurs propres réelles.
Les vecteurs propres ne sont jamais uniques
Si v convient, 2v convient aussi, et −v, et tout multiple non nul : l’équation ne contraint que la direction. Les calculateurs renvoient donc un représentant, en général normalisé à la longueur 1, et le vôtre peut différer de celui du manuel d’un facteur d’échelle tout en étant aussi juste. Comparez des directions, pas des coefficients. Le vecteur nul est exclu par définition — il satisferait l’équation pour tout λ et n’apprendrait rien.
Quand les vecteurs propres manquent
Une matrice n×n a exactement n valeurs propres comptées avec multiplicité, mais une valeur propre répétée ne garantit pas autant de vecteurs propres indépendants. Une matrice qui en manque est dite défective, et ne peut pas être diagonalisée : il n’existe pas de base de vecteurs propres pour le faire. Lire la multiplicité algébrique comme un décompte de vecteurs propres est l’une des erreurs les plus faciles ici.
Les matrices réelles peuvent aussi avoir des valeurs propres complexes. Une rotation du plan n’a aucun vecteur propre réel — aucune direction réelle ne survit à une rotation — et ses valeurs propres forment une paire complexe conjuguée.
Comment ce calculateur les obtient
Les valeurs propres sont calculées numériquement : rotations de Jacobi pour les matrices symétriques, et algorithme QR avec décalage de Wilkinson et déflation dans les autres cas. Le polynôme caractéristique emprunte une autre voie — la récurrence de Faddeev–LeVerrier, qui construit les coefficients à partir des traces des puissances successives et reste en arithmétique exacte au lieu de développer un déterminant symbolique.
Comme les algorithmes de valeurs propres sont itératifs et non algébriques, les valeurs propres sont la seule opération d’ici sans détail des étapes : les itérations intermédiaires sont des artefacts d’arrondi, pas un raisonnement reproductible à la main. Elles ne convergent en outre que vers des valeurs propres réelles, si bien qu’une matrice à spectre complexe signale l’absence de convergence au lieu d’inventer une réponse. Le chemin inverse — tirer les valeurs propres du polynôme — convient à la main jusqu’au 3×3, mais c’est une mauvaise idée numériquement, car les racines d’un polynôme sont extrêmement sensibles aux erreurs sur les coefficients.
Erreurs fréquentes
- Attendre des valeurs propres d’une matrice rectangulaire. Elles ne sont définies que pour les matrices carrées — l’analogue rectangulaire, ce sont les valeurs singulières.
- Traiter un vecteur propre comme unique. Tout multiple non nul d’un vecteur propre en est un aussi ; seule la direction est déterminée.
- Supposer qu’elles sont toujours réelles. Une matrice réelle peut très bien avoir des valeurs propres complexes.
- Retrancher λ à tous les coefficients. λI vaut λ sur la diagonale et zéro ailleurs : seule la diagonale change.
- Lire la multiplicité comme un nombre de vecteurs propres. Une racine double n’apporte pas nécessairement deux vecteurs propres indépendants — quand ce n’est pas le cas, la matrice est défective.
- Perdre la convention de signe. det(A − λI) et det(λI − A) diffèrent de (−1)ⁿ. Les deux s’emploient ; choisissez-en une et tenez-vous-y.