Appuyez sur LU(A) et ouvrez le détail : L et U s’y construisent côte à côte, avec la matrice de permutation P si des lignes ont dû être échangées.
À quoi sert la factorisation
A = L·U écrit une matrice comme le produit d’une triangulaire inférieure et d’une triangulaire supérieure. C’est l’élimination de Gauss, mais conservée : U est le résultat de l’élimination, et L garde en mémoire les coefficients utilisés pour y parvenir.
L’intérêt apparaît dès qu’il faut résoudre plusieurs seconds membres. Ax = b se scinde en Ly = b puis Ux = y, deux systèmes triangulaires qui se résolvent par descente et remontée en n² opérations. La factorisation, coûteuse, n’est faite qu’une fois ; chaque b supplémentaire ne coûte presque rien. C’est pour cette raison que les bibliothèques numériques procèdent ainsi plutôt que d’inverser.
Exemple résolu
| 4 | 3 |
| 6 | 3 |
| 1 | 0 |
| 1,5 | 1 |
| 4 | 3 |
| 0 | −1,5 |
Le 1,5 de L est exactement le facteur par lequel la première ligne a été multipliée avant d’être retranchée à la seconde. Le déterminant est le produit de la diagonale de U, multiplié par −1 pour chaque échange de lignes : sur une matrice déjà factorisée, il est donc gratuit.
Erreurs fréquentes
- Ignorer la matrice de permutation. Avec pivot, l’égalité est P·A = L·U, et non A = L·U.
- Attendre une factorisation unique. Elle ne le devient qu’une fois imposée la convention de diagonale unitaire pour L.
- L’appliquer à une matrice rectangulaire. Sous cette forme, la décomposition LU vise les matrices carrées.
- Se passer du pivot. Un zéro en position de pivot bloque l’algorithme, et une valeur très petite ruine la précision.