Calculadora de decomposição LU
Fatore uma matriz quadrada em partes triangular inferior e superior, com todos os multiplicadores à vista. Inclui decomposição de Cholesky para matrizes simétricas definidas positivas.
Digite uma matriz quadrada, abra a aba Decomposições e clique em LU(A). Como a resposta é um par de matrizes, e não uma só, ela vive inteiramente no painel de passo a passo, que abre sozinho e mostra L e U lado a lado no fim.
O que são os fatores
A LU escreve A = L·U, com L triangular inferior e U triangular superior. Nenhuma das duas é misteriosa: U é exatamente a forma escalonada que a eliminação de Gauss produz, e L guarda os multiplicadores usados no caminho. Fazer a eliminação uma vez entrega as duas.
Exemplo resolvido
| 4 | 3 |
| 6 | 3 |
| 1 | 0 |
| 3/2 | 1 |
| 4 | 3 |
| 0 | −3/2 |
O 3/2 em L é o multiplicador que zerou o 6 abaixo do pivô. Repare que o determinante saiu de graça: multiplique a diagonal de U e obtenha 4 · (−3/2) = −6.
Por que vale a pena
Resolver Ax = b do zero custa cerca de n³/3 operações. Com L e U em mãos, cada novo lado direito custa apenas n²: substituição direta seguida de substituição retroativa. Se você resolve o mesmo sistema contra muitos vetores b diferentes — o caso normal em engenharia e simulação — a economia é enorme.
Erros comuns
- Supor que toda matriz fatora. Um zero na posição do pivô quebra a LU simples. A saída é uma matriz de permutação:
P·A = L·U. - Usar Cholesky na matriz errada. Ela exige simetria e ser definida positiva; a calculadora avisa quando a condição falha.
- Esquecer as trocas de linha no determinante. Cada troca inverte o sinal.