Digite sua matriz, abra a aba Avançadas e clique em A⁻¹. Se a matriz for singular você recebe uma mensagem clara em vez de uma resposta errada. O painel de passo a passo mostra os valores intermediários como frações exatas — 3/5 em vez de 0,6000000001 — porque roda em aritmética racional, e não em ponto flutuante.
Quando a inversa existe
A inversa A⁻¹ é a matriz que desfaz a original: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Ela só existe para matrizes quadradas, e só quando o determinante é diferente de zero. Uma matriz com determinante zero é chamada de singular, e simplesmente não tem inversa — nem uma grande, nem uma aproximada, nenhuma. Houve perda de informação na transformação, e nenhuma matriz recupera isso.
O atalho 2×2
Troque a diagonal principal, inverta o sinal da secundária e divida pelo determinante:
| a | b |
| c | d |
| d | −b |
| −c | a |
A divisão por ad − bc é onde a singularidade se anuncia: se o determinante for zero não há por que dividir, e a fórmula quebra exatamente quando a inversa deixa de existir.
Gauss-Jordan na matriz aumentada
Este é o método geral, e é o que a calculadora mostra passo a passo. Escreva A ao lado da matriz identidade e aplique operações de linha até a metade esquerda virar a identidade. O que a metade direita se tornou é A⁻¹:
| 4 | 7 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 3/5 | −7/10 |
| 0 | 1 | −1/5 | 2/5 |
Se em algum momento uma linha da esquerda ficar toda zerada, pare: a matriz é singular e a inversa não existe. Confira sempre multiplicando — A·A⁻¹ tem que dar exatamente a identidade, e o botão A × B faz essa verificação em dois cliques.
A 3×3 carregada acima dá inteiros, porque o determinante dela é exatamente −1:
| 2 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| −2 | 1 | 3 |
| 3 | −1 | −5 |
Repare na última linha da original: ela seleciona a primeira coordenada e descarta as outras duas. A inversa precisa devolver essa informação, e é por isso que os números dela são grandes comparados com os da matriz que inverte. Esse é o padrão geral — quanto mais perto de zero está o determinante, maior fica a inversa, já que det(A⁻¹) = 1/det(A).
A fórmula da adjunta (cofatores)
A⁻¹ = adj(A) / det(A), onde a adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Monte a matriz de cofatores C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transponha e divida pelo determinante.
É elegante e é o que as demonstrações usam, porque expressa a inversa em fórmula fechada em vez de como resultado de um algoritmo. Também é impraticável: exige n² determinantes de tamanho n−1. Acima de 3×3, use Gauss-Jordan.
Quase singular já é problema
A matriz não precisa ser singular para dar trabalho. Se o determinante for apenas pequeno em relação ao tamanho dos elementos, a matriz é mal condicionada: uma mudança mínima na entrada produz uma mudança enorme na inversa, e em ponto flutuante essa mudança pode ser puro erro de arredondamento. Resolver um sistema por uma inversa dessas pode devolver uma resposta sem um único dígito correto e com aparência perfeitamente plausível.
É essa a razão prática do conselho abaixo. O painel de passo a passo daqui contorna o problema por completo trabalhando em frações exatas, então o que você lê é a inversa verdadeira, e não uma aproximação dela.
Por que você raramente quer a inversa em si
Na maioria das vezes a inversa não é o objetivo — resolver Ax = b é, e a inversa é só o caminho que ficou na memória desde a aula. É o caminho caro. Calcular A⁻¹ e depois multiplicar custa cerca de três vezes a aritmética de escalonar [A | b] direto, e perde precisão em duas etapas em vez de uma.
A inversa realmente ganha seu lugar quando você precisa da matriz em si, e não de uma solução: para ler quanto cada entrada influencia cada saída, para compor com outras transformações, ou para alimentar uma fórmula escrita em termos de A⁻¹. Se você só quer o x, use escalonamento; se precisa de muitas soluções para o mesmo A, use a decomposição LU, que é ainda mais barata.
Erros comuns
- Inverter os elementos um a um. A inversa não é a matriz dos inversos —
1/a(i,j)não tem nada a ver com ela. - Trocar a ordem.
(A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹, e nãoA⁻¹·B⁻¹. - Resolver sistemas pela inversa. Para
Ax = b, escalonar[A | b]dá menos operações e mais precisão numérica. - Usar a adjunta em matrizes grandes. Ela exige
n²determinantes de ordemn−1. Acima de 3×3 é muito mais lenta que a eliminação. - Confundir inversa com transposta. As duas coincidem só em matrizes ortogonais. No caso geral não têm relação nenhuma.