Введите матрицу, откройте вкладку Расширенные и нажмите A⁻¹. Если матрица вырожденная, вы получите понятное сообщение, а не неверный ответ. В пошаговом решении промежуточные значения показаны точными дробями — 3/5, а не 0,6000000001, — потому что расчёт идёт в рациональной арифметике, а не в числах с плавающей точкой.
Когда обратная матрица существует
Только для квадратных матриц и только при ненулевом определителе. Обратная матрица отменяет действие исходной: A·A⁻¹ = I. Приближённой обратной для вырожденной матрицы не бывает — если определитель равен нулю, информация утрачена и восстановить её нечем.
Разобранный пример
Метод Гаусса-Жордана приписывает справа единичную матрицу и приводит левую половину к I:
| 4 | 7 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 3/5 | −7/10 |
| 0 | 1 | −1/5 | 2/5 |
То, во что превратилась правая половина, и есть обратная матрица. Всегда проверяйте умножением: A·A⁻¹ обязано дать в точности единичную матрицу, а кнопка A × B выполняет эту проверку в два клика.
Частые ошибки
- Обращать элементы поодиночке. Обратная матрица — не матрица обратных величин;
1/a(i,j)здесь ни при чём. - Путать порядок. Верно
(A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹, а неA⁻¹·B⁻¹. - Решать системы через обратную матрицу. Для
Ax = bприведение[A | b]требует меньше операций и точнее. - Использовать присоединённую матрицу для больших размеров. Она требует
n²определителей порядкаn−1и уже после 3×3 намного медленнее исключения.