Escribe tu matriz, abre la pestaña Avanzadas y pulsa A⁻¹. Si la matriz es singular recibirás un mensaje claro en lugar de un resultado incorrecto. El panel paso a paso muestra los valores intermedios como fracciones exactas —3/5 en vez de 0,6000000001— porque funciona con aritmética racional y no en coma flotante.
Cuándo existe la inversa
La inversa A⁻¹ es la matriz que deshace la original: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Solo existe para matrices cuadradas, y solo cuando el determinante es distinto de cero. Una matriz con determinante nulo se llama singular y sencillamente no tiene inversa: ni una grande, ni una aproximada, ninguna. La transformación destruyó información y ninguna matriz puede recuperarla.
El atajo 2×2
Intercambia la diagonal principal, cambia el signo de la secundaria y divide por el determinante:
| a | b |
| c | d |
| d | −b |
| −c | a |
La división por ad − bc es donde la singularidad se delata: si el determinante es cero no hay por qué dividir, y la fórmula se rompe exactamente cuando la inversa deja de existir.
Gauss-Jordan sobre la matriz ampliada
Este es el método general, y el que la calculadora muestra paso a paso. Escribe A junto a la matriz identidad y aplica operaciones de fila hasta que la mitad izquierda sea la identidad. En lo que se haya convertido la mitad derecha es A⁻¹:
| 4 | 7 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 3/5 | −7/10 |
| 0 | 1 | −1/5 | 2/5 |
Si en algún momento una fila de la izquierda queda toda a cero, detente: la matriz es singular y la inversa no existe. Comprueba siempre multiplicando: A·A⁻¹ debe dar exactamente la identidad, y el botón A × B hace esa comprobación en dos clics.
La 3×3 cargada arriba sale en enteros, porque su determinante es exactamente −1:
| 2 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| −2 | 1 | 3 |
| 3 | −1 | −5 |
Fíjate en la última fila de la original: selecciona la primera coordenada y descarta las otras dos. La inversa tiene que devolver esa información, y por eso sus elementos son grandes comparados con los de la matriz que invierte. Ese es el patrón general: cuanto más cerca de cero está el determinante, mayor se vuelve la inversa, ya que det(A⁻¹) = 1/det(A).
La fórmula de la adjunta (cofactores)
A⁻¹ = adj(A) / det(A), donde la adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores. Construye la matriz de cofactores C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transpónla y divide por el determinante.
Es elegante y es la que usan las demostraciones, porque expresa la inversa en forma cerrada en vez de como resultado de un algoritmo. También es impracticable: exige n² determinantes de tamaño n−1. Por encima de 3×3, usa Gauss-Jordan.
Casi singular ya es un problema
Una matriz no necesita ser singular para dar guerra. Si el determinante es simplemente pequeño en relación con el tamaño de sus elementos, la matriz está mal condicionada: un cambio mínimo en la entrada produce un cambio enorme en la inversa, y en coma flotante ese cambio puede ser puro error de redondeo. Resolver un sistema mediante una inversa así puede devolver una respuesta sin un solo dígito correcto y con aspecto perfectamente plausible.
Esa es la razón práctica del consejo que viene ahora. El panel paso a paso de aquí esquiva el problema por completo trabajando en fracciones exactas, así que lo que lees es la inversa verdadera, no una aproximación suya.
Por qué rara vez quieres la inversa en sí
La mayoría de las veces la inversa no es el objetivo —resolver Ax = b lo es— y la inversa es solo el camino que uno recuerda de clase. Es el camino caro. Calcular A⁻¹ y luego multiplicar cuesta unas tres veces la aritmética de escalonar [A | b] directamente, y pierde precisión en dos etapas en lugar de una.
La inversa se gana su sitio cuando necesitas la matriz en sí y no una solución: para leer cuánto influye cada entrada en cada salida, para componerla con otras transformaciones, o para meterla en una fórmula escrita en términos de A⁻¹. Si solo quieres x, usa eliminación; si necesitas muchas soluciones para la misma A, usa la descomposición LU, que es aún más barata.
Errores frecuentes
- Invertir los elementos uno a uno. La inversa no es la matriz de los inversos:
1/a(i,j)no tiene nada que ver. - Equivocar el orden.
(A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹, noA⁻¹·B⁻¹. - Resolver sistemas con la inversa. Para
Ax = b, escalonar[A | b]son menos operaciones y más precisión numérica. - Usar la adjunta en matrices grandes. Exige
n²determinantes de ordenn−1. Por encima de 3×3 es mucho más lenta que la eliminación. - Confundir la inversa con la transpuesta. Solo coinciden en matrices ortogonales. En general no guardan relación alguna.