Calculadora de descomposición LU
Factoriza una matriz cuadrada en partes triangular inferior y superior, con todos los multiplicadores a la vista. Incluye la descomposición de Cholesky para matrices simétricas definidas positivas.
Escribe una matriz cuadrada, abre la pestaña Descomposiciones y pulsa LU(A). Como el resultado son dos matrices y no una, vive por completo en el panel paso a paso, que se abre solo y muestra L y U una junto a otra al final.
Qué son los factores
La LU escribe A = L·U, con L triangular inferior y U triangular superior. Ninguna es misteriosa: U es exactamente la forma escalonada que produce la eliminación gaussiana, y L guarda los multiplicadores que usaste por el camino. Hacer la eliminación una vez te da las dos.
Ejemplo resuelto
| 4 | 3 |
| 6 | 3 |
| 1 | 0 |
| 3/2 | 1 |
| 4 | 3 |
| 0 | −3/2 |
El 3/2 de L es el multiplicador que anuló el 6 bajo el pivote. Fíjate en que el determinante sale gratis: multiplica la diagonal de U y obtienes 4 · (−3/2) = −6.
Por qué merece la pena
Resolver Ax = b desde cero cuesta unas n³/3 operaciones. Con L y U ya calculadas, cada nuevo término independiente cuesta solo n²: sustitución progresiva seguida de sustitución regresiva. Si resuelves el mismo sistema con muchos vectores b distintos —el caso habitual en ingeniería y simulación— el ahorro es enorme.
Errores frecuentes
- Suponer que toda matriz factoriza. Un cero en la posición del pivote rompe la LU simple. La solución es una matriz de permutación:
P·A = L·U. - Usar Cholesky en la matriz equivocada. Exige simetría y ser definida positiva; la calculadora avisa cuando la condición falla.
- Olvidar los intercambios de filas en el determinante. Cada intercambio cambia su signo.