MatrixCalc

Kalkulator dekomposisi LU

Faktorkan matriks persegi menjadi A = L·U dengan pivot parsial dan ikuti bagaimana kedua faktor segitiga terbentuk langkah demi langkah.

Matriks A
baris: 3
kolom: 3
Matriks B
baris: 3
kolom: 3
Operasi

Buka langkah-langkah di bawah untuk melihat jawaban lengkapnya.

Hasil
Pilih operasi untuk melihat hasilnya di sini. Pesan kesalahan muncul di area ini.

Tips: atur ukuran (maks 50×50). A×B memerlukan kolom(A)=baris(B). det/invers/trace/pangkat memerlukan matriks persegi.

React, Tailwind & shadcn/ui. No external math deps. — Bahasa Indonesia

Tekan LU(A) lalu buka panel langkah: di sana L dan U terbentuk berdampingan, bersama matriks permutasi P bila ada baris yang harus ditukar.

Untuk apa faktorisasi ini

A = L·U menuliskan matriks sebagai hasil kali matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Pada dasarnya itu eliminasi Gauss yang disimpan: U adalah hasil eliminasinya, sedangkan L mengingat faktor-faktor pengali yang dipakai untuk sampai ke sana.

Manfaatnya terasa begitu ruas kanannya lebih dari satu. Ax = b terpecah menjadi Ly = b lalu Ux = y, dua sistem segitiga yang diselesaikan dengan substitusi maju dan mundur dalam n² langkah. Faktorisasi yang mahal hanya dikerjakan sekali; setiap b berikutnya nyaris gratis. Itulah sebabnya pustaka numerik bekerja begini alih-alih membalik matriksnya.

Contoh terselesaikan

43
63
=
10
1,51
·
43
0−1,5

Angka 1,5 pada L persis merupakan faktor yang dipakai untuk mengalikan baris pertama sebelum dikurangkan dari baris kedua. Determinannya adalah hasil kali diagonal U, dikalikan −1 untuk setiap penukaran baris — jadi pada matriks yang sudah difaktorkan, determinan didapat cuma-cuma.

Kesalahan yang sering terjadi

  • Mengabaikan matriks permutasi. Dengan pivot, yang berlaku adalah P·A = L·U, bukan A = L·U.
  • Mengharapkan faktorisasi tunggal. Ia baru tunggal setelah disepakati bahwa diagonal L semuanya satu.
  • Menerapkannya pada matriks persegi panjang. Dalam bentuk ini, dekomposisi LU ditujukan untuk matriks persegi.
  • Bekerja tanpa pivot. Nol di posisi pivot menghentikan algoritma, dan nilai yang sangat kecil merusak ketelitiannya.

Pertanyaan umum

Untuk apa dekomposisi LU dipakai?
Untuk menyelesaikan sistem dengan matriks yang sama tetapi ruas kanan yang berganti-ganti. Faktorisasinya dihitung sekali, lalu tiap sistem berikutnya hanya butuh dua penyelesaian segitiga.
Apa arti matriks permutasi P?
Ia mencatat baris mana saja yang ditukar. Dengan pivot parsial, hasilnya ditulis P·A = L·U.
Kapan sebaiknya memakai Cholesky?
Bila matriksnya simetris dan definit positif. Cholesky kira-kira dua kali lebih cepat dan hanya perlu satu faktor segitiga, karena A = L·Lᵀ.
Bisakah determinan diperoleh dari LU?
Bisa — determinannya hasil kali diagonal U, dikalikan −1 untuk setiap penukaran baris yang dilakukan.

Ingin penjelasan lengkapnya? Baca panduannya: Dekomposisi LU, langkah demi langkah

Kalkulator lainnya