输入一个方阵，打开分解标签页，点击 LU(A)。因为答案是一对矩阵而不是 一个，它完全存在于分步面板里；面板会自动展开，并在最后把 L 和 U 并排显示出来。Cholesky(A) 在同一个标签页里，用于下面要讲的对称情形。
两个因子是什么
LU 分解把矩阵写成 A = L·U，其中 L 是下三角、U 是上三角。两者都不神秘：U 恰好就是高斯消元得到的行阶梯形，而 L 记录了你一路上用过 的乘数。做一次消元，两个因子就都有了。
例题
| 4 | 3 |
| 6 | 3 |
| 1 | 0 |
| 3/2 | 1 |
| 4 | 3 |
| 0 | −3/2 |
L 中的 3/2 就是把主元下方那个 6 消掉的乘数。注意行列式现在是白送的：把 U 的对角线相乘得 4 · (−3/2) = −6，每做一次行交换再乘以 −1。
为什么值得这么做
因为这个分解可以反复使用。从头解 Ax = b 大约要 n³/3 次运算。有了 L 和 U 之后，每换一个右端项只要 n²：先用前代解 Ly = b，再用回代解 Ux = y。如果同一个方程组要配上很多个不同的 b 向量——工程与仿真中的常态——省下的运算量 非常可观。对一个 100×100 的矩阵和五十个右端项，这就是一次分解加五十次廉价求解，而不是五十次完整 消元。
前代与回代的完整演算
拿上方载入的这个 3×3 矩阵来看。一次消元就给出两个因子：
| 2 | 1 | 1 |
| 4 | −6 | 0 |
| −2 | 7 | 2 |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0 |
| −1 | −1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 |
| 0 | −8 | −2 |
| 0 | 0 | 1 |
L 中的元素正是消元时用过的乘数：2 消掉了 4，−1 消掉了 −2，−1 消掉了第二列里剩下的部分。现在取 b = (4, −2, 7) 来解 Ax = b。先解 Ly = b，自上而下，每一行都 能立刻定出一个新值，因为它右边全是零：
y₁ = 4；接着 2·4 + y₂ = −2，得 y₂ = −10；再接着 −4 + 10 + y₃ = 7，得 y₃ = 1。
然后解 Ux = y，自下而上：x₃ = 1；接着 −8x₂ − 2 = −10，得 x₂ = 1；再接着 2x₁ + 1 + 1 = 4，得 x₁ = 1。解是 (1, 1, 1)，全程除了对角线元素之外没做过任何除法。行列式也从这同一对因子里白得： 2 · (−8) · 1 = −16。
选主元
并非每个矩阵都容许朴素的 A = L·U：主元位置上出现零就会把它破坏掉。补救办法是引入一个 置换矩阵，写成 P·A = L·U。实际上无论如何都要选主元，因为取当前可用的最大主元能把舍入 误差压住。一旦约定确定下来，分解就是唯一的；本计算器采用 Doolittle 约定，把 1 放在 L 的对角线上。
Cholesky：对称的情形
如果 A 对称且正定，它可以分解为 A = L·Lᵀ——相当于矩阵的平方根，只需要 一个三角因子。对称是指 A = Aᵀ；正定是指每个特征值都大于零。这听上去限制很多，但符合这个描述的矩阵 其实到处都是：协方差矩阵、格拉姆矩阵、最小二乘的正规方程、有限元法中的刚度矩阵，按其构造方式都是 对称正定的。
| 4 | 2 |
| 2 | 5 |
| 2 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 1 |
| 0 | 2 |
L 对角线上的每个元素都是一个平方根——这里是 √4 = 2 和 √(5 − 1²) = 2——所以这个方法要求每个根号下的 量都保持为正。这个要求恰恰就是正定性，于是算法本身变成了一项检验：分解能走完，矩阵就是正定的； 途中在根号下碰到非正数，就不是。Cholesky 大约比 LU 快一倍，内存用量减半，而且不选主元也稳定——因此 求解器会先检查对称性，只要可能就改用它。
LU 分解在什么地方真正用得上
最常见的场景是同一个系统要反复求解。有限元分析中，刚度矩阵由结构本身决定，而载荷向量一个工况换一个； 电路仿真里，导纳矩阵在网络不变时保持不变，激励却每一步都在变。这些情形都属于「矩阵固定、右端项变化」， 正是 LU 分解为之设计的形态。
它还是若干量的现成来源。行列式是 U 对角线的乘积，前面已经说过；矩阵的逆，也可以通过对 n 个单位向量 逐个做前代与回代来得到，虽然如前所述，多数时候你并不真的需要它。反过来说，如果只解一次方程组，那么 直接做高斯消元与先做 LU 分解的运算量几乎一样—— 分解的价值全部来自第二次以及之后的求解。
常见错误
- 以为任何矩阵都能分解。主元位置上的零会破坏朴素的 LU。补救办法是置换矩阵：
P·A = L·U。 - 把 Cholesky 用在非对称矩阵上。A = L·Lᵀ 按构造就是对称的，非对称的输入不存在这样的分解。请改用 LU。
- 以为对称就够了。带有负特征值的对称矩阵是不定的，算法会在中途失败。
- 指望因子是整数。Cholesky 的对角线含平方根，所以即便 A 是整数矩阵，L 通常也是无理的。
- 算行列式时忘了行交换。每交换一次都会让它变号。