在上方输入矩阵，打开高级标签页，点击 det(A)。结果立刻出现；展开分步 面板可以看到它是怎么算出来的，还能对同一个矩阵在四种方法之间切换——如果课上指定了某一种方法，这一点 很有用。下面的内容解释这个数字的含义，以及每种方法的原理，好让你能自己动手把结果算一遍。
行列式说明了什么
它是一个数，只对方阵有定义，而它最重要的作用是回答一个问题：这个矩阵可逆吗？行列式 为零意味着矩阵是奇异的——各行线性相关，逆矩阵不存在，用它构造的方程组要么无解，要么有无穷多解。 任何非零值都意味着矩阵可逆。
从几何上看，它是该变换在二维中缩放面积、在三维中缩放体积的倍数。行列式为 −2 表示面积翻倍并翻转 定向；行列式为 0 表示空间被压扁到一条直线或一个点上——这正是该运算无法撤销的原因。符号不是可以随手 丢掉的细节：它记录了变换保持定向还是把它镜像过来。
2×2 的公式
对 2×2 矩阵，行列式等于主对角线的乘积减去副对角线的乘积：
| a | b |
| c | d |
所以 [[1, 2], [3, 4]] 的行列式是 1·4 − 2·3 = −2。两条竖线是行列式的 标准记号，不是绝对值，而结果为负是很常见的。
萨吕斯法则（仅限 3×3）
对 3×3 矩阵，把前两列抄到矩阵右侧，把三条向右下走的乘积相加，再减去三条向左下走的乘积。用上方 载入的矩阵来算：
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
萨吕斯法则快而好记，但只适用于 3×3。它没有 4×4 的版本，而自行编一个是考试中最 经典的错误之一。超过 3×3 就得用代数余子式展开或消元法。
拉普拉斯展开（代数余子式）
任选一行或一列，把行列式写成各元素与其代数余子式乘积之和。代数余子式 C(i,j) 等于 (−1)^(i+j) 乘以余子式——也就是划去第 i 行与第 j 列后那个矩阵的 行列式。
余子式展开对任何阶数都成立，而且当某一行或某一列几乎全是零时，它是手算的首选： 每一个零都在你动笔之前就消掉了整整一个余子式。不过它的代价按 n! 增长，对大矩阵毫无 希望——20×20 的行列式用余子式展开，所需运算次数比一个人身上的原子还多。
高斯消元
这是计算机的做法，也是本计算器从 4×4 起采用的做法。用初等行变换把矩阵化为上三角形，再把对角线 元素相乘。三条规则保证账目不出错：
- 交换两行，行列式乘以 −1。
- 把某一行乘以 k，行列式乘以 k。
- 把某一行的倍数加到另一行，行列式不变——这是真正干活的那一步，也是消元法便宜的原因。
代价大约是 n³/3 次运算，而不是 n!。产生这个结果的那次分解，正是 LU 分解，所以一次消元就同时给出行列式和两个因子。
蒙坦特法
它也叫 Bareiss 算法，或无分数消元。它做的是与上面相同的消元，只是每完成一步之后，把所有元素都 除以上一个主元。这个除法总能整除，所以整数矩阵从头到尾都保持为整数——过程中不会出现任何 分数，而最后一个主元就是行列式本身。
手算时，它是让整数矩阵保持干净的那个方法，因为你从不需要拖着一个分母走。当元素是精确值、答案也 必须精确时，它同样是正确的选择。在分步面板里选中它，就能看到同一个矩阵在没有一个分数的情况下被 算完。
值得记住的性质
det(Aᵀ) = det(A)——对行成立的结论，对列同样成立det(A·B) = det(A)·det(B)det(A⁻¹) = 1 / det(A)det(k·A) = kⁿ·det(A)，其中矩阵为 n×n——标量作用在全部 n 行上- 三角矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积
- 行列式是全部特征值的乘积，正如迹是它们的和
手算时的几处自检
行列式算错了往往察觉不到，因为答案只是一个数字，看不出哪里不对。有几个便宜的检查值得养成习惯。先看 有没有一整行或一整列全是零——那样行列式必定为零，根本不必往下算。再看有没有两行成比例，比如第二行 正好是第一行的两倍，那也直接给出零。若矩阵是三角形的（主对角线一侧全为零），把对角线相乘就是答案。
算完之后，可以拿迹与行列式互相印证。二阶时，两个特征值之和等于迹、之积等于行列式，于是特征多项式 就是 λ² − (迹)λ + (行列式)，把它解出来若得不到合理的根，多半是前面某一步错了。整数矩阵的行列式必为 整数，如果你的结果带小数，那一定是中途某次除法出了问题——这也是蒙坦特法存在的理由之一。
常见错误
- 把萨吕斯用在 4×4 上。该法则没有 4×4 版本。请用消元法或余子式展开。
- 把竖线读成绝对值。
|A|是行列式的标准记号，而它常常是负的。 - 交换行时忘了变号。消元过程中每交换一次，行列式就乘以 −1。
- 以为
det(A + B) = det(A) + det(B)。这是错的。行列式相乘，而不相加。 - 去算长方形矩阵的行列式。它没有定义。对非方阵，你要的几乎一定是秩。