اكتب مصفوفتك في الأعلى، وافتح تبويب متقدم، ثم اضغط det(A). تظهر النتيجة فورًا، ويبيّن لك عرض الخطوات كيف جرى الوصول إليها ويتيح التنقل بين أربع طرائق مختلفة للمصفوفة نفسها — وهو مفيد حين تكون المادة قد اشترطت واحدة منها بعينها. وما يلي يشرح معنى هذا العدد وكيف تعمل كل طريقة، لتتمكن من إعادة الحساب بيدك.
ماذا يخبرك المحدد
هو عدد واحد، معرَّف للمصفوفات المربعة فحسب، وأهم وظائفه الإجابة عن سؤال واحد: هل هذه المصفوفة قابلة للعكس؟ المحدد الصفري يعني أن المصفوفة شاذة — صفوفها مرتبطة خطيًا، ولا معكوس لها، والنظام المبني عليها إما بلا حل وإما بما لا نهاية من الحلول. وأي قيمة غير صفرية تعني أنها قابلة للعكس.
وهندسيًا هو المعامل الذي يحجّم به التحويل المساحة في بعدين أو الحجم في ثلاثة أبعاد. محدد يساوي −2 يضاعف المساحات ويعكس الاتجاه، ومحدد يساوي 0 يسحق الفضاء على مستقيم أو نقطة — وهذا بالضبط سبب تعذّر التراجع عن العملية. والإشارة ليست تفصيلًا يُهمَل: فهي تسجّل ما إذا كان التحويل يحفظ الاتجاه أم يعكسه كالمرآة.
صيغة 2×2
في المصفوفة 2×2، المحدد هو جداء القطر الرئيسي ناقص جداء القطر الثانوي:
| a | b |
| c | d |
فمثلًا في [[1, 2], [3, 4]] يكون المحدد 1·4 − 2·3 = −2. والشرطتان الرأسيتان هما الترميز المعتاد للمحدد، لا للقيمة المطلقة، والنتيجة سالبة في أحيان كثيرة.
قاعدة ساروس (للمصفوفات 3×3 وحدها)
في المصفوفات 3×3، انسخ أول عمودين إلى يمين المصفوفة، ثم اجمع الجداءات الثلاثة النازلة إلى اليمين واطرح الثلاثة النازلة إلى اليسار. على المصفوفة المحمَّلة أعلاه:
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
قاعدة ساروس سريعة وسهلة الحفظ، لكنها لا تصلح إلا للحجم 3×3. ولا توجد نسخة منها للحجم 4×4، واختلاق واحدة من أشيع أخطاء الامتحانات. وفوق 3×3 تحتاج إلى النشر بالمحددات الجزئية أو إلى الحذف.
نشر لابلاس (المحددات الجزئية)
اختر أي صف أو عمود، واكتب المحدد مجموعًا لعناصره مضروبة في مرافقاتها الجبرية. والمرافق C(i,j) يساوي (−1)^(i+j) مضروبًا في المحدد الجزئي — أي محدد المصفوفة بعد حذف الصف i والعمود j.
يصلح النشر لأي حجم، وهو الطريقة المختارة يدويًا حين يكون صف أو عمود أصفارًا في معظمه: فكل صفر يُلغي محددًا جزئيًا بأكمله قبل أن تحسبه أصلًا. غير أن كلفته تنمو كـ n!، فهي ميؤوس منها في المصفوفات الكبيرة — إذ يحتاج محدد 20×20 بهذه الطريقة إلى عمليات أكثر من عدد ذرات الإنسان.
حذف غاوس
هذا ما يفعله الحاسوب، وما تفعله هذه الحاسبة ابتداءً من 4×4. اختزل المصفوفة إلى صورة مثلثية عليا بعمليات أولية على الصفوف، ثم اضرب عناصر القطر. وثلاث قواعد تُبقي الحساب أمينًا:
- تبديل صفين يضرب المحدد في −1.
- ضرب صف في k يضرب المحدد في k.
- إضافة مضاعف لصف إلى صف آخر لا تغيّر المحدد — وهي عملية العمل الأساسية، وسبب رخص الحذف.
والكلفة نحو n³/3 عملية بدل n!. والتحليل نفسه الذي ينتج الجواب هو تحليل LU، فحذف واحد يعطيك المحدد والعاملين معًا.
طريقة مونتانتي
وتسمى أيضًا خوارزمية بارايس، أو الحذف الخالي من الكسور. تجري الحذف نفسه الموصوف أعلاه، غير أنها بعد كل مرحلة تقسم كل عنصر على العنصر المحوري السابق. وهذه القسمة تخرج دقيقة دائمًا، فتبقى مصفوفة الأعداد الصحيحة صحيحة من أولها إلى آخرها — فلا يظهر كسر في أي موضع، ويكون آخر عنصر محوري هو المحدد نفسه.
وهي يدويًا الطريقة التي تُبقي الحساب نظيفًا في مصفوفة أعدادها صحيحة، لأنك لا تجرّ مقامًا قط. وهي كذلك الخيار الصحيح حين تكون العناصر دقيقة وتريد الجواب دقيقًا مثلها. اخترها في عرض الخطوات لترى المصفوفة نفسها محلولة من دون كسر واحد.
خصائص جديرة بالحفظ
det(Aᵀ) = det(A)— وما يصح على الصفوف يصح على الأعمدةdet(A·B) = det(A)·det(B)det(A⁻¹) = 1 / det(A)det(k·A) = kⁿ·det(A)في مصفوفة n×n — إذ يطال السلّم كلًا من الصفوف الـ n- في المصفوفة المثلثية، المحدد هو جداء عناصر قطرها
- المحدد جداء القيم الذاتية، كما أن الأثر مجموعها
أخطاء شائعة
- استعمال ساروس في 4×4. لا نسخة للقاعدة بهذا الحجم. استعمل الحذف أو المحددات الجزئية.
- قراءة الشرطتين على أنهما قيمة مطلقة.
|A|ترميز معتاد للمحدد، وهو سالب في أحيان كثيرة. - نسيان الإشارة عند تبديل الصفوف. كل تبديل أثناء الحذف يضرب المحدد في −1.
- توقّع أن
det(A + B) = det(A) + det(B). هذا خطأ. المحددات تتضارب ولا تتجامع. - حساب محدد مصفوفة مستطيلة. غير معرَّف. وللمصفوفة غير المربعة فالأرجح أن ما تريده هو الرتبة.