Ketik matriks Anda di atas, buka tab Lanjutan, lalu tekan det(A). Jawabannya muncul seketika; membuka panel langkah demi langkah memperlihatkan bagaimana jawaban itu diperoleh, dan memungkinkan Anda berpindah antara empat metode untuk matriks yang sama — berguna ketika di kelas satu metode tertentu yang diminta. Bagian di bawah menjelaskan arti angka tersebut dan cara kerja masing-masing metode, supaya Anda bisa mengulanginya dengan tangan.
Apa yang dikatakan determinan
Ia satu angka, hanya terdefinisi untuk matriks persegi, dan tugas terpentingnya adalah menjawab satu pertanyaan: apakah matriks ini punya invers? Determinan nol berarti matriksnya singular — baris-barisnya bergantung linear, inversnya tidak ada, dan sistem yang dibangun darinya entah tidak punya penyelesaian atau punya tak hingga banyak. Nilai apa pun selain nol berarti matriksnya dapat dibalik.
Secara geometris ia adalah faktor penskalaan luas di 2D atau volume di 3D. Determinan −2 melipatkan luas dua kali dan membalik orientasi; determinan 0 memipihkan ruang menjadi garis atau titik — persis itulah sebabnya operasinya tak bisa dibatalkan. Tandanya bukan detail yang boleh dibuang: ia mencatat apakah transformasi mempertahankan orientasi atau mencerminkannya.
Rumus 2×2
Untuk matriks 2×2, determinan adalah hasil kali diagonal utama dikurangi hasil kali diagonal samping:
| a | b |
| c | d |
Jadi untuk [[1, 2], [3, 4]] determinannya 1·4 − 2·3 = −2. Garis tegak adalah notasi baku determinan — bukan nilai mutlak, dan hasilnya sangat sering negatif.
Aturan Sarrus (hanya 3×3)
Untuk matriks 3×3, salin dua kolom pertama ke sebelah kanan matriks, jumlahkan tiga hasil kali yang turun ke kanan, lalu kurangi tiga yang turun ke kiri. Pada matriks yang dimuat di atas:
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
Sarrus cepat dan mudah diingat, tetapi hanya berlaku untuk 3×3. Tidak ada versi 4×4, dan mengarangnya termasuk kesalahan ujian yang paling klasik. Di atas 3×3 Anda butuh ekspansi kofaktor atau eliminasi.
Ekspansi Laplace (kofaktor)
Pilih baris atau kolom mana pun, lalu tulis determinan sebagai jumlah entri dikali kofaktornya. Kofaktor C(i,j) adalah (−1)^(i+j) dikali minor — determinan matriks tanpa baris i dan kolom j.
Ekspansi kofaktor berlaku untuk ukuran berapa pun, dan inilah metode pilihan secara manual bila suatu baris atau kolom hampir seluruhnya nol: setiap nol menghapus satu minor utuh bahkan sebelum Anda menghitungnya. Namun biayanya tumbuh seperti n!, sehingga mustahil untuk matriks besar — determinan 20×20 lewat kofaktor akan menuntut lebih banyak operasi daripada jumlah atom dalam tubuh seseorang.
Eliminasi Gauss
Inilah yang dilakukan komputer, dan yang dilakukan kalkulator ini mulai dari 4×4. Reduksi matriks ke bentuk segitiga atas dengan operasi baris elementer, lalu kalikan diagonalnya. Tiga aturan menjaga pembukuannya tetap jujur:
- Menukar dua baris mengalikan determinan dengan −1.
- Mengalikan satu baris dengan k mengalikan determinan dengan k.
- Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain tidak mengubah determinan — inilah operasi kerjanya, dan alasan eliminasi jadi murah.
Biayanya sekitar n³/3 operasi, bukan n!. Faktorisasi yang sama yang menghasilkan jawaban itu adalah dekomposisi LU, jadi satu kali eliminasi memberi Anda determinan sekaligus kedua faktornya.
Metode Montante
Disebut juga algoritma Bareiss, atau eliminasi bebas pecahan. Ia menjalankan eliminasi yang sama seperti di atas, tetapi setelah tiap tahap membagi semua entri dengan pivot sebelumnya. Pembagian itu selalu habis, sehingga matriks bilangan bulat tetap bulat dari awal sampai akhir — tidak ada pecahan yang muncul di titik mana pun, dan pivot terakhir adalah determinannya sendiri.
Secara manual, inilah metode yang menjaga perhitungan tetap rapi pada matriks bilangan bulat, karena Anda tak pernah menyeret penyebut. Ini juga pilihan yang tepat ketika entrinya eksak dan jawabannya pun harus eksak. Pilih metode ini di panel langkah demi langkah untuk melihat matriks yang sama dikerjakan tanpa satu pecahan pun.
Sifat yang layak dihafal
det(Aᵀ) = det(A)— yang berlaku untuk baris berlaku untuk kolomdet(A·B) = det(A)·det(B)det(A⁻¹) = 1 / det(A)det(k·A) = kⁿ·det(A)untuk matriks n×n — skalarnya mengenai tiap-tiap dari n baris- Pada matriks segitiga, determinan sama dengan hasil kali diagonalnya
- Determinan adalah hasil kali nilai eigen, sebagaimana trace adalah jumlahnya
Kesalahan umum
- Memakai Sarrus pada 4×4. Tidak ada versi 4×4 dari aturan itu. Gunakan eliminasi atau kofaktor.
- Membaca garis tegak sebagai nilai mutlak.
|A|adalah notasi baku determinan, dan nilainya sering negatif. - Lupa tanda saat menukar baris. Setiap penukaran selama eliminasi mengalikan determinan dengan −1.
- Mengira
det(A + B) = det(A) + det(B). Itu salah. Determinan mengalikan, bukan menjumlahkan. - Menghitung determinan matriks persegi panjang. Ia tak terdefinisi. Untuk matriks tak persegi, yang Anda butuhkan hampir pasti rank.