Ketik matriks Anda, buka tab Dekomposisi, lalu tekan BEBT(A). Panel langkah terbuka sendiri dan mendaftar setiap operasi dalam notasi baku, jadi Anda bisa menyalin pengerjaannya langsung ke catatan dan menemukan di mana percobaan Anda menyimpang. Tekan Eselon baris(A) untuk eliminasi Gauss biasa, atau rank(A) untuk rank — ketiganya keluar dari algoritma yang sama, dijelaskan di bawah.
Tiga operasi baris elementer
Eliminasi adalah algoritma paling berguna dalam aljabar linear. Rank, determinan, invers, dan penyelesaian sistem linear semuanya lahir darinya. Ia bersandar pada tiga operasi, dan tak satu pun mengubah himpunan penyelesaian sistem yang mendasarinya:
- Menukar dua baris:
B(i) ↔ B(j) - Mengalikan satu baris dengan skalar tak nol:
B(i) → k·B(i) - Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain:
B(i) → B(i) + k·B(j)
Mengalikan baris dengan nol tidak ada dalam daftar, dan memang tidak sah: itu memusnahkan sebuah persamaan, bukan menuliskannya ulang.
Bentuk eselon baris
Sebuah matriks berada dalam bentuk eselon baris bila:
- baris yang seluruhnya nol berada di paling bawah;
- setiap entri tak nol pertama (pivot) berada tepat di sebelah kanan pivot baris di atasnya;
- semua yang berada di bawah sebuah pivot bernilai nol.
| 2 | 1 | −1 |
| 0 | 3 | 2 |
| 0 | 0 | 5 |
Bentuk eselon baris tereduksi
Bentuk tereduksi melangkah lebih jauh: setiap pivot bernilai 1 dan menjadi satu-satunya entri tak nol di kolomnya. Yang terpenting, setiap matriks punya tepat satu bentuk eselon baris tereduksi — hasilnya tidak bergantung pada urutan operasi yang Anda lakukan. Ketunggalan itulah yang menjadikannya patokan andal untuk membandingkan pengerjaan Anda sendiri.
Algoritmanya, langkah demi langkah
- Mulai dari kiri atas. Cari entri terbesar pada kolom saat ini — inilah pivot parsial, dan ia menjaga galat pembulatan tetap kecil.
- Bila seluruh kolomnya nol, geser satu kolom ke kanan lalu coba lagi.
- Tukar baris itu ke posisi pivot.
- Bagi baris pivot dengan pivotnya sendiri, agar pivotnya menjadi 1.
- Kurangkan kelipatan baris pivot dari semua baris lain untuk menolkan sisa kolomnya.
- Turun satu baris, geser satu kolom, lalu ulangi.
Menerapkan langkah 5 hanya pada baris di bawah pivot menghasilkan eliminasi Gauss dan bentuk eselon baris. Membersihkan yang di atas juga menghasilkan Gauss-Jordan dan bentuk tereduksinya. Gauss-Jordan berhitung lebih banyak; sebagai gantinya penyelesaiannya bisa dibaca tanpa substitusi mundur.
Contoh terselesaikan
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 6 | 5 |
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Kolom kedua tak pernah mendapat pivot, jadi variabelnya bebas — dan baris nol menegaskan bahwa persamaan ketiga tak membawa informasi baru. Membaca bentuknya: rank-nya 2, dan sistem dengan matriks koefisien ini punya tak hingga banyak penyelesaian dengan satu parameter bebas.
Menyelesaikan sistem linear
Masukkan sistemnya sebagai matriks yang diperbesar: satu baris tiap persamaan, satu kolom tiap variabel, dan kolom terakhir untuk konstanta. Tiga persamaan dengan tiga variabel menjadi matriks 3×4. Setiap operasi baris berlaku untuk baris utuh, termasuk kolom konstantanya. Ambil x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22:
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 0 | −1 | 1 | −3 |
| 0 | 0 | −1 | 2 |
Baris terakhir berbunyi −z = 2, jadi z = −2. Substitusi ke atas memberi y = 1 lalu x = −8. Tiga kemungkinan hasilnya terbaca dari bentuk tereduksi:
- Penyelesaian tunggal: setiap kolom matriks koefisien punya pivot.
- Tak hingga banyak: ada kolom tanpa pivot — variabel-variabel itu bebas.
- Tidak ada penyelesaian: muncul baris
0 0 0 | cdenganc ≠ 0, yang menyatakan 0 = c.
Rank: menghitung yang tersisa
Rank sebuah matriks adalah banyaknya baris yang bebas linear — setara dengan banyaknya kolom yang bebas linear. Kedua bilangan itu selalu sama, sebuah fakta yang cukup penting sampai punya nama: teorema rank baris sama dengan rank kolom. Untuk menghitungnya, reduksi matriksnya lalu hitung baris yang tak nol. Operasi baris tak pernah mengubah rank, dan justru itulah sebabnya cara ini berhasil.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 5 | 7 | 9 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | −3 | −6 |
| 0 | 0 | 0 |
Di sini baris ketiga persis baris pertama ditambah kedua, jadi ia tak menyumbang apa pun dan eliminasi menolkannya. Untuk matriks m×n, rank ≤ min(m, n); matriks yang mencapai batas itu ber-rank penuh. Untuk matriks persegi, rank penuh sama artinya dengan dapat dibalik dan sama artinya dengan determinan tak nol — tiga cara mengatakan satu sifat yang sama.
Rank juga yang menentukan apakah sebuah sistem punya penyelesaian. Teorema Rouché–Capelli menyatakan bahwa Ax = b konsisten persis ketika rank(A) = rank([A | b]); bila rank bersama itu sama dengan banyaknya variabel, penyelesaiannya tunggal, dan bila tidak, tersisa n − rank parameter bebas. Kesamaan pasangannya adalah teorema rank-nulitas: rank(A) + nulitas(A) = n.
Kesalahan umum
- Berhenti pada bentuk eselon baris biasa. Menolkan hanya yang di bawah tiap pivot menghasilkan bentuk eselon. Bentuk tereduksi membersihkan yang di atas juga.
- Membiarkan pivot tidak bernilai 1. Bentuk tereduksi menuntut pembagian tiap baris pivot dengan pivotnya.
- Menukar kolom. Menukar baris boleh; menukar kolom mengubah variabel mana adalah variabel yang mana.
- Melewatkan baris yang tak konsisten. Baris
0 0 0 | cdengan c ≠ 0 berarti sistemnya sama sekali tak punya penyelesaian. - Menyebut baris nol sebagai tanda tak ada penyelesaian. Baris yang seluruhnya nol adalah persamaan berlebih, jadi penyelesaiannya tak hingga banyak. Hanya
0 = cdengan c tak nol yang berarti tak ada. - Menghitung baris tak nol sebelum selesai. Baris baru menunjukkan kebergantungannya setelah eliminasi tuntas. Reduksi sampai habis, baru hitung.