Saisissez votre matrice, ouvrez l’onglet Décompositions et appuyez sur FER(A). Le panneau des étapes s’ouvre de lui-même et liste chaque opération en notation standard : vous pouvez recopier le développement directement dans vos notes et repérer où votre propre tentative a divergé. Forme échelonnée(A) donne le pivot de Gauss simple, et rg(A) donne le rang — les trois sortent du même algorithme, expliqué ci-dessous.
Les trois opérations élémentaires sur les lignes
L’élimination est l’algorithme le plus utile de l’algèbre linéaire. Le rang, le déterminant, l’inverse et la solution d’un système linéaire en découlent tous. Elle repose sur trois opérations, dont aucune ne change l’ensemble des solutions du système sous-jacent :
- Échanger deux lignes :
L(i) ↔ L(j) - Multiplier une ligne par un scalaire non nul :
L(i) → k·L(i) - Ajouter un multiple d’une ligne à une autre :
L(i) → L(i) + k·L(j)
Multiplier une ligne par zéro ne figure pas dans la liste, et n’est pas permis : cela détruit une équation au lieu de la réécrire.
Forme échelonnée
Une matrice est sous forme échelonnée quand :
- les lignes entièrement nulles sont en bas ;
- chaque premier coefficient non nul (le pivot) est strictement à droite du pivot de la ligne au-dessus ;
- tout ce qui se trouve sous un pivot est nul.
| 2 | 1 | −1 |
| 0 | 3 | 2 |
| 0 | 0 | 5 |
Forme échelonnée réduite
La forme réduite va plus loin : chaque pivot vaut 1 et est le seul coefficient non nul de sa colonne. Et surtout : toute matrice a exactement une forme échelonnée réduite — le résultat ne dépend pas de l’ordre dans lequel vous avez fait les opérations. C’est cette unicité qui en fait un repère fiable pour vérifier votre propre développement.
L’algorithme, pas à pas
- Partez du coin supérieur gauche. Cherchez le plus grand coefficient de la colonne courante — c’est le pivot partiel, et il garde les erreurs d’arrondi petites.
- Si toute la colonne est nulle, avancez d’une colonne et recommencez.
- Remontez cette ligne en position de pivot.
- Divisez la ligne du pivot par le pivot lui-même, pour qu’il vaille 1.
- Retranchez des multiples de la ligne du pivot à toutes les autres pour annuler le reste de la colonne.
- Descendez d’une ligne, avancez d’une colonne, et recommencez.
En n’appliquant l’étape 5 qu’aux lignes sous le pivot, vous obtenez le pivot de Gauss et la forme échelonnée. En nettoyant aussi au-dessus, vous obtenez Gauss-Jordan et la forme réduite. Gauss-Jordan calcule davantage ; en échange, la solution se lit sans substitution remontante.
Exemple résolu
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 6 | 5 |
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
La deuxième colonne n’obtient jamais de pivot, sa variable est donc libre — et la ligne nulle confirme que la troisième équation n’apportait rien de neuf. Lecture de la forme : le rang vaut 2, et un système ayant cette matrice de coefficients admet une infinité de solutions à un paramètre libre.
Résoudre un système linéaire
Saisissez le système sous forme de matrice augmentée : une ligne par équation, une colonne par inconnue, et une dernière colonne pour les constantes. Trois équations à trois inconnues donnent une matrice 3×4. Chaque opération porte sur la ligne entière, colonne des constantes comprise. Prenons x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22 :
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 0 | −1 | 1 | −3 |
| 0 | 0 | −1 | 2 |
La dernière ligne dit −z = 2, donc z = −2. En remontant, on trouve y = 1 puis x = −8. Les trois issues possibles se lisent sur la forme réduite :
- Solution unique : chaque colonne de la matrice des coefficients a un pivot.
- Une infinité : une colonne reste sans pivot — ces variables sont libres.
- Aucune solution : une ligne s’écrit
0 0 0 | cavecc ≠ 0, ce qui affirme 0 = c.
Le rang : compter ce qui subsiste
Le rang d’une matrice est le nombre de lignes linéairement indépendantes — de façon équivalente, de colonnes linéairement indépendantes. Ces deux nombres sont toujours égaux, un fait assez important pour porter un nom : le théorème du rang par lignes égal au rang par colonnes. Pour le calculer, réduisez et comptez les lignes non nulles. Les opérations sur les lignes ne changent jamais le rang, et c’est exactement pour cela que cela marche.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 5 | 7 | 9 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | −3 | −6 |
| 0 | 0 | 0 |
Ici la troisième ligne est exactement la première plus la deuxième : elle n’apporte rien, et l’élimination l’annule. Pour une matrice m×n, rg ≤ min(m, n) ; une matrice atteignant cette borne est de rang plein. Pour une matrice carrée, être de rang plein équivaut à être inversible et à avoir un déterminant non nul — trois formulations d’une même propriété.
Le rang décide aussi de la résolubilité d’un système. Le théorème de Rouché–Fontené dit que Ax = b est compatible exactement quand rg(A) = rg([A | b]) ; si ce rang commun égale le nombre d’inconnues la solution est unique, sinon il reste n − rg paramètres libres. L’identité compagne est le théorème du rang : rg(A) + dim ker(A) = n.
Erreurs fréquentes
- S’arrêter à la forme échelonnée simple. N’annuler que ce qui est sous chaque pivot donne la forme échelonnée. La forme réduite nettoie aussi au-dessus.
- Laisser un pivot différent de 1. La forme réduite impose de diviser chaque ligne de pivot par son pivot.
- Échanger des colonnes. Échanger des lignes est permis ; échanger des colonnes change quelle variable est laquelle.
- Manquer la ligne incompatible. Une ligne
0 0 0 | cavec c ≠ 0 signifie que le système n’a aucune solution. - Prendre une ligne nulle pour une impossibilité. Une ligne entièrement nulle est une équation redondante, il y a donc une infinité de solutions. Seul
0 = cavec c non nul signifie aucune. - Compter les lignes non nulles avant la fin. Les lignes ne se révèlent dépendantes qu’une fois l’élimination terminée. Réduisez complètement, puis comptez.