Saisissez votre matrice — la matrice augmentée s’il s’agit d’un système — et appuyez sur RREF(A). Le détail des étapes nomme chaque opération effectuée.
Forme échelonnée et forme échelonnée réduite
Dans la forme échelonnée, chaque ligne commence plus à droite que la précédente et des zéros occupent tout ce qui se trouve sous chaque pivot. La forme réduite exige en plus que chaque pivot vaille 1 et que sa colonne soit nulle au-dessus également. Cette forme réduite est unique : une matrice n’en possède qu’une, quel que soit le chemin suivi.
C’est ce qui la rend utile pour résoudre. Une fois le système sous forme échelonnée réduite, la solution se lit directement, sans remontée. Les colonnes sans pivot correspondent aux variables libres, et leur nombre est la dimension de l’espace des solutions.
Exemple résolu
Le système x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22, en matrice augmentée :
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 0 | 0 | −8 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | −2 |
La solution se lit dans la dernière colonne : x = −8, y = 1, z = −2. Une ligne de la forme 0 = c avec c non nul signifierait au contraire que le système est incompatible.
Erreurs fréquentes
- S’arrêter à la forme échelonnée. Pour lire la solution directement, il faut aussi des zéros au-dessus des pivots.
- Multiplier une ligne par zéro. Ce n’est pas une opération autorisée : elle supprime une équation au lieu de la réécrire.
- Oublier la colonne de droite. Chaque opération porte sur la ligne entière, second membre compris.
- Prendre une ligne nulle pour une contradiction. Elle signale une équation redondante, donc une infinité de solutions.