Digite sua matriz, abra a aba Decomposições e clique em FERL(A). O painel de passos abre sozinho e lista cada operação em notação padrão, então dá para copiar o desenvolvimento direto para o caderno e achar onde a sua tentativa divergiu. Clique em Forma escalonada(A) para a eliminação de Gauss simples, ou em posto(A) para o posto — os três saem do mesmo algoritmo, explicado abaixo.
As três operações elementares de linha
O escalonamento é o algoritmo mais útil da álgebra linear. Posto, determinante, inversa e a solução de um sistema linear saem todos dele. Ele se apoia em três operações, e nenhuma delas muda o conjunto solução do sistema por trás:
- Trocar duas linhas:
L(i) ↔ L(j) - Multiplicar uma linha por um escalar não nulo:
L(i) → k·L(i) - Somar um múltiplo de uma linha a outra:
L(i) → L(i) + k·L(j)
Multiplicar uma linha por zero não está na lista, e não é permitido: isso destrói uma equação em vez de reescrevê-la.
Forma escalonada
Uma matriz está na forma escalonada quando:
- as linhas totalmente nulas ficam embaixo;
- cada primeiro elemento não nulo (o pivô) está estritamente à direita do pivô da linha de cima;
- tudo abaixo de um pivô é zero.
| 2 | 1 | −1 |
| 0 | 3 | 2 |
| 0 | 0 | 5 |
Forma escalonada reduzida
A forma reduzida vai além: todo pivô vale 1 e é o único elemento não nulo da sua coluna. E o mais importante: toda matriz tem exatamente uma forma escalonada reduzida — o resultado não depende da ordem em que você fez as operações. É essa unicidade que a torna uma resposta confiável para comparar com o seu desenvolvimento.
O algoritmo, passo a passo
- Comece no canto superior esquerdo. Procure o maior elemento da coluna atual — isso é o pivotamento parcial, e mantém os erros de arredondamento pequenos.
- Se a coluna inteira for zero, avance uma coluna e tente de novo.
- Suba essa linha para a posição do pivô.
- Divida a linha do pivô pelo próprio pivô, para que ele vire 1.
- Subtraia múltiplos da linha do pivô de todas as outras, zerando o resto da coluna.
- Desça uma linha, avance uma coluna e repita.
Aplicando o passo 5 apenas às linhas abaixo do pivô você tem a eliminação de Gauss e a forma escalonada. Limpando também as de cima você tem Gauss-Jordan e a forma reduzida. Gauss-Jordan faz mais contas; em troca, a solução se lê direto, sem substituição retroativa.
Exemplo resolvido
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 6 | 5 |
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
A segunda coluna nunca ganha pivô, então a variável dela é livre — e a linha nula confirma que a terceira equação não trazia informação nova. Lendo a forma: o posto é 2, e um sistema com essa matriz de coeficientes tem infinitas soluções com um parâmetro livre.
Resolvendo um sistema linear
Digite o sistema como matriz aumentada: uma linha por equação, uma coluna por incógnita e uma coluna final para os termos independentes. Três equações com três incógnitas dão uma matriz 3×4. Toda operação de linha vale para a linha inteira, coluna dos termos independentes incluída. Tome x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22:
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 0 | −1 | 1 | −3 |
| 0 | 0 | −1 | 2 |
A última linha diz −z = 2, então z = −2. Substituindo para cima vem y = 1 e depois x = −8. Lendo os três desfechos possíveis na forma reduzida:
- Solução única: toda coluna da matriz de coeficientes tem pivô.
- Infinitas soluções: alguma coluna ficou sem pivô — essas variáveis são livres.
- Sem solução: aparece uma linha
0 0 0 | ccomc ≠ 0, afirmando que 0 = c.
Posto: contando o que sobrevive
O posto de uma matriz é o número de linhas linearmente independentes — ou, equivalentemente, de colunas linearmente independentes. Esses dois números são sempre iguais, fato importante o bastante para ter nome: o teorema do posto-linha igual ao posto-coluna. Para calcular, escalone e conte as linhas não nulas. Operações de linha nunca mudam o posto, e é exatamente por isso que funciona.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 5 | 7 | 9 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | −3 | −6 |
| 0 | 0 | 0 |
Aqui a terceira linha é exatamente a primeira mais a segunda, então não traz nada novo e a eliminação a zera. Numa matriz m×n, posto ≤ mín(m, n); a matriz que atinge esse limite tem posto completo. Para matriz quadrada, posto completo é a mesma coisa que ser invertível e a mesma coisa que ter determinante não nulo — três maneiras de dizer a mesma propriedade.
O posto também é o que decide se um sistema tem solução. O teorema de Rouché–Capelli diz que Ax = b tem solução exatamente quando posto(A) = posto([A | b]); se esse posto comum for igual ao número de incógnitas, a solução é única, e caso contrário há n − posto parâmetros livres. A identidade companheira é o teorema do núcleo e da imagem: posto(A) + nulidade(A) = n.
Erros comuns
- Parar na forma escalonada simples. Zerar só o que está abaixo de cada pivô dá a escalonada. A reduzida também limpa o que está acima.
- Deixar pivô diferente de 1. A forma reduzida exige dividir cada linha-pivô pelo próprio pivô.
- Trocar colunas de lugar. Trocar linhas é permitido; trocar colunas muda qual variável é qual.
- Não perceber a linha inconsistente. Uma linha
0 0 0 | ccom c ≠ 0 significa que o sistema não tem solução alguma. - Chamar uma linha nula de sistema impossível. Linha toda zerada é equação redundante, então há infinitas soluções. Só
0 = ccom c não nulo significa nenhuma. - Contar as linhas não nulas antes de terminar. As linhas só se revelam dependentes quando a eliminação acaba. Escalone até o fim e só então conte.