Digite sua matriz acima, abra a aba Avançadas e clique em det(A). A resposta aparece na hora; abrindo o painel de passo a passo você vê como se chegou nela e pode alternar entre quatro métodos diferentes para a mesma matriz — útil quando o professor cobrou um método específico. O texto abaixo explica o que o número significa e como cada um desses métodos funciona, para você reproduzir o resultado na mão.
O que o determinante diz
É um único número, definido só para matrizes quadradas, e sua função mais importante é responder a uma pergunta: esta matriz é invertível? Determinante zero significa que a matriz é singular — as linhas são linearmente dependentes, não existe inversa, e um sistema montado com ela ou não tem solução ou tem infinitas. Qualquer valor diferente de zero significa que a matriz é invertível.
Geometricamente, é o fator pelo qual a transformação escala área em 2D ou volume em 3D. Um determinante −2 dobra as áreas e inverte a orientação; um determinante 0 achata o espaço sobre uma reta ou um ponto — que é exatamente por que a operação não pode ser desfeita. O sinal não é um detalhe a descartar: ele registra se a transformação preserva a orientação ou a espelha.
A fórmula 2×2
Numa matriz 2×2, o determinante é o produto da diagonal principal menos o produto da secundária:
| a | b |
| c | d |
Então, para [[1, 2], [3, 4]], o determinante é 1·4 − 2·3 = −2. As barras verticais são notação padrão de determinante — não são módulo, e o resultado é negativo com frequência.
A regra de Sarrus (só 3×3)
Em matrizes 3×3, repita as duas primeiras colunas à direita, some os três produtos que descem para a direita e subtraia os três que descem para a esquerda. Na matriz carregada acima:
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
Sarrus é rápida e fácil de memorizar, mas só funciona para 3×3. Não existe versão 4×4 da regra, e inventar uma é um dos erros mais clássicos de prova. Acima de 3×3 você precisa de cofatores ou de eliminação.
Expansão de Laplace (cofatores)
Escolha uma linha ou coluna qualquer e escreva o determinante como a soma dos elementos multiplicados pelos seus cofatores. O cofator C(i,j) é (−1)^(i+j) vezes o menor complementar — o determinante da matriz sem a linha i e sem a coluna j.
A expansão por cofatores serve para qualquer tamanho, e é o método a escolher na mão quando uma linha ou coluna tem muitos zeros: cada zero elimina um menor inteiro antes mesmo de você calculá-lo. O custo, porém, cresce como n!, então é inviável para matrizes grandes — um determinante 20×20 por cofatores exigiria mais operações do que há átomos numa pessoa.
Eliminação de Gauss
É o que um computador faz, e é o que esta calculadora faz de 4×4 em diante. Reduza a matriz à forma triangular superior com operações elementares de linha e multiplique a diagonal. Três regras mantêm a contabilidade honesta:
- Trocar duas linhas multiplica o determinante por −1.
- Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k.
- Somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante — é essa a operação de trabalho, e o motivo de a eliminação ser barata.
O custo fica em torno de n³/3 operações, em vez de n!. A mesma fatoração que produz a resposta é a decomposição LU, então uma única eliminação entrega o determinante e os fatores juntos.
O método de Montante
Também chamado de algoritmo de Bareiss, ou eliminação livre de frações. Ele faz a mesma eliminação descrita acima, mas depois de cada etapa divide todo elemento pelo pivô anterior. Essa divisão sempre dá exata, então uma matriz de inteiros continua inteira do começo ao fim — nenhuma fração aparece em momento algum, e o último pivô é o próprio determinante.
Na mão, é o método que mantém a conta limpa numa matriz de inteiros, porque você nunca carrega denominador. É também o que usar quando os elementos são exatos e você quer resposta exata. Selecione-o no painel de passo a passo para ver a mesma matriz resolvida sem uma única fração.
Propriedades que vale memorizar
det(Aᵀ) = det(A)— o que vale para as linhas vale para as colunasdet(A·B) = det(A)·det(B)det(A⁻¹) = 1 / det(A)det(k·A) = kⁿ·det(A)numa matriz n×n — o escalar atinge cada uma das n linhas- Numa matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal
- O determinante é o produto dos autovalores, assim como o traço é a soma deles
Erros comuns
- Usar Sarrus numa 4×4. Não existe versão 4×4 da regra. Use eliminação ou cofatores.
- Ler as barras como módulo.
|A|é notação padrão de determinante, e ele é negativo com frequência. - Esquecer o sinal na troca de linhas. Cada troca durante a eliminação multiplica o determinante por −1.
- Esperar que
det(A + B) = det(A) + det(B). É falso. Determinantes se multiplicam, não se somam. - Calcular o determinante de uma matriz retangular. Ele não existe. Para matriz não quadrada, o que você quer é quase certamente o posto.