Digite uma matriz quadrada, abra a aba Avançadas e use eig(A) para os autovalores ou eigvec(A) para os autovetores. A aba Decomposições ainda dá o polinômio característico em aritmética exata. Os três são vistas diferentes da mesma pergunta, que o resto desta página desenvolve.
O que é um autovetor
A maioria dos vetores muda de direção quando uma matriz age sobre eles. Um autovetor é uma das raras direções que sobrevivem: a matriz apenas estica ou encolhe esse vetor. O fator dessa mudança é o autovalor. Formalmente, A·v = λ·v para um vetor v não nulo.
Tudo o que uma matriz faz com o espaço é uma mistura de esticamentos ao longo dessas direções especiais, e é por isso que elas aparecem sempre que uma transformação linear precisa ser compreendida, e não apenas aplicada — análise de componentes principais, modos de vibração, estabilidade de uma equação diferencial, o vetor do PageRank.
O polinômio característico
A equação que os define, A·v = λ·v, se reescreve como (A − λI)·v = 0. Um v não nulo só resolve isso se A − λI for singular — caso contrário a única solução é v = 0 — e uma matriz é singular exatamente quando seu determinante se anula. Então os autovalores são os valores de λ que fazem det(A − λI) = 0, e essa expressão é o polinômio característico.
Numa matriz n×n ele tem grau n, e dois dos seus coeficientes se leem direto da matriz sem expandir nada: o coeficiente logo abaixo do termo líder é o oposto do traço, e o termo constante é o determinante a menos de um sinal (−1)ⁿ. Os dois servem como excelente conferência de uma conta feita na mão.
Exemplo resolvido
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
As raízes 1 e 3 são os autovalores. Repare nas conferências: o traço é 4 e o coeficiente de λ é −4; o determinante é 3 e o termo constante também. O autovetor de λ = 3 é (1, 1) — a matriz triplica qualquer coisa ao longo dessa diagonal — e para λ = 1 é (1, −1), que a matriz deixa intacto. Os dois são perpendiculares, e isso não é coincidência: essa matriz é simétrica, e matrizes simétricas sempre têm autovetores ortogonais e autovalores reais.
Autovetores nunca são únicos
Se v serve, então 2v também serve, e −v, e qualquer múltiplo não nulo: a equação só determina a direção. As calculadoras devolvem por isso um representante, em geral normalizado para comprimento 1, e o seu pode diferir do do livro por um fator de escala e estar igualmente correto. Compare direções, não elementos. O vetor nulo fica excluído por definição — ele satisfaria a equação para qualquer λ e não diria nada.
Quando não há autovetores suficientes
Uma matriz n×n tem exatamente n autovalores contando as multiplicidades, mas um autovalor repetido não garante o mesmo número de autovetores independentes. A matriz que fica devendo é chamada de defectiva, e não pode ser diagonalizada: não existe base de autovetores em que diagonalizá-la. Ler a multiplicidade algébrica como contagem de autovetores é um dos erros mais fáceis de cometer aqui.
Matrizes reais também podem ter autovalores complexos. Uma rotação no plano não tem autovetor real nenhum — nenhuma direção real sobrevive a uma rotação — e seus autovalores formam um par complexo conjugado.
Como esta calculadora obtém os valores
Os autovalores são calculados numericamente: rotações de Jacobi para matrizes simétricas, e algoritmo QR com deslocamento de Wilkinson e deflação nos demais casos. O polinômio característico segue outro caminho — a recorrência de Faddeev–LeVerrier, que monta os coeficientes a partir dos traços de potências sucessivas e permanece em aritmética exata, em vez de expandir um determinante simbólico.
Como os algoritmos de autovalores são iterativos, e não algébricos, autovalores são a única operação daqui sem solução passo a passo: as iterações intermediárias são artefatos de arredondamento, não um raciocínio que você reproduziria na mão. Eles também convergem apenas para autovalores reais, então uma matriz de espectro complexo avisa que não convergiu em vez de inventar uma resposta. O caminho inverso — achar autovalores a partir do polinômio — funciona bem até 3×3 na mão, mas é má ideia numericamente, porque as raízes de um polinômio são extremamente sensíveis a erro nos coeficientes.
Erros comuns
- Esperar autovalores de matriz retangular. Eles só existem para matrizes quadradas — o análogo retangular são os valores singulares.
- Tratar o autovetor como único. Qualquer múltiplo não nulo de um autovetor também é autovetor; só a direção está determinada.
- Supor que são sempre reais. Matrizes reais podem perfeitamente ter autovalores complexos.
- Subtrair λ de todos os elementos. λI é λ na diagonal e zero no resto, então só a diagonal muda.
- Ler a multiplicidade como número de autovetores. Uma raiz dupla não precisa trazer dois autovetores independentes — quando não traz, a matriz é defectiva.
- Perder a convenção de sinal. det(A − λI) e det(λI − A) diferem por (−1)ⁿ. As duas são usadas; escolha uma e mantenha.