Calculadora de autovalores e autovetores
Encontre os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada, além do polinômio característico, calculados pelos algoritmos de Jacobi e QR.
Digite uma matriz quadrada, abra a aba Avançadas e use eig(A) para os autovalores ou eigvec(A) para os autovetores. A aba Decomposições ainda dá o polinômio característico em aritmética exata.
O que é um autovetor
A maioria dos vetores muda de direção quando uma matriz age sobre eles. Um autovetor é uma das raras direções que sobrevivem: a matriz apenas estica ou encolhe esse vetor. O fator dessa mudança é o autovalor. Formalmente, A·v = λ·v para um vetor v não nulo.
Eles saem da equação característica det(A − λI) = 0, onde o determinante reaparece. Numa matriz 2×2 essa equação é do segundo grau; resolvê-la dá os dois autovalores.
Exemplo resolvido
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
O autovetor de λ = 3 é (1, 1): a matriz triplica qualquer coisa ao longo dessa diagonal. Para λ = 1 é (1, −1), que a matriz deixa intacto.
Uma limitação que vale saber
Esta calculadora obtém os autovalores numericamente — rotações de Jacobi para matrizes simétricas, algoritmo QR nos demais casos. Os dois são iterativos, então autovalores são a única operação sem solução passo a passo: as iterações intermediárias não ensinariam nada. Eles também convergem apenas para autovalores reais; uma matriz de rotação, cujos autovalores são complexos, vai avisar que não convergiu em vez de inventar uma resposta.
Erros comuns
- Esperar autovalores de matriz retangular. Eles só existem para matrizes quadradas — o análogo retangular são os valores singulares.
- Tratar o autovetor como único. Qualquer múltiplo não nulo de um autovetor também é autovetor; só a direção está determinada.
- Supor que são sempre reais. Matrizes reais podem perfeitamente ter autovalores complexos.