Нажмите eig(A) для собственных значений и eigvec(A) для соответствующих собственных векторов. Характеристический многочлен находится на вкладке Разложения.
Что описывают собственные значения
Собственный вектор — это направление, которое преобразование не поворачивает: A·v = λ·v, то есть v лишь растягивается или сжимается в λ раз. Всё, что матрица делает с пространством, складывается из таких растяжений — поэтому собственные значения возникают везде, где линейное преобразование нужно понять, а не просто применить: метод главных компонент, формы колебаний, устойчивость дифференциального уравнения.
Две проверки делаются мгновенно и стоят того, чтобы выполнять их всегда: сумма собственных значений равна следу, то есть сумме элементов главной диагонали, а их произведение равно определителю. Если хоть одна не сходится, где-то ошибка.
Разобранный пример
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
Собственные значения — 1 и 3; след равен 4, определитель 3, и это сходится. Собственные векторы — (1, −1) и (1, 1), перпендикулярные друг другу, и это не случайность: матрица симметрична, а у симметричных матриц собственные значения всегда вещественны, а собственные векторы ортогональны.
Частые ошибки
- Вычитать λ из всех элементов. λI стоит только на диагонали; остальные элементы не меняются.
- Принимать нулевой вектор за собственный. Он исключён по определению, хотя уравнению и удовлетворяет.
- Ждать единственного собственного вектора. Любое ненулевое кратное — тоже собственный вектор. Сравнивайте направления, а не числа.
- Считать собственные значения обязательно вещественными. У матрицы поворота нет ни одного вещественного неподвижного направления, и её собственные значения комплексны.