Введите квадратную матрицу, откройте вкладку Дополнительно и используйте eig(A) для собственных значений или eigvec(A) для собственных векторов. Вкладка Разложения дополнительно даёт характеристический многочлен в точной арифметике. Все три — разные взгляды на один и тот же вопрос, который разбирает остальная часть этой страницы.
Что такое собственный вектор
Большинство векторов меняют направление, когда на них действует матрица. Собственный вектор — одно из редких направлений, которые это переживают: матрица лишь растягивает или сжимает его. Множитель и есть собственное значение. Формально A·v = λ·v для ненулевого вектора v.
Всё, что матрица делает с пространством, — это смесь растяжений вдоль таких особых направлений. Поэтому они возникают всюду, где линейное преобразование нужно понять, а не просто применить: метод главных компонент, формы колебаний, устойчивость дифференциального уравнения, вектор PageRank.
Характеристический многочлен
Определяющее равенство A·v = λ·v переписывается как (A − λI)·v = 0. Ненулевой v решает его только если A − λI вырожденная — иначе единственное решение v = 0 — а матрица вырожденная ровно тогда, когда её определитель обращается в ноль. Значит, собственные значения — это те λ, при которых det(A − λI) = 0, и это выражение и есть характеристический многочлен.
Для матрицы n×n он имеет степень n, а два его коэффициента читаются прямо по матрице без всякого раскрытия: коэффициент сразу под старшим членом равен следу со знаком минус, а свободный член равен определителю с точностью до знака (−1)ⁿ. И то и другое отлично годится для проверки ручного счёта.
Разобранный пример
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
Корни 1 и 3 — это собственные значения. Обратите внимание на проверки: след равен 4, а коэффициент при λ равен −4; определитель равен 3, и свободный член тоже. Собственный вектор для λ = 3 — это (1, 1): матрица утраивает всё, что лежит вдоль этой диагонали. Для λ = 1 это (1, −1), который матрица оставляет нетронутым. Оба перпендикулярны, и это не случайность: матрица симметрична, а у симметричных матриц собственные векторы всегда ортогональны, а собственные значения вещественны.
Собственные векторы никогда не единственны
Если подходит v, то подходят и 2v, и −v, и любое ненулевое кратное: уравнение задаёт только направление. Поэтому калькуляторы возвращают представителя, обычно нормированного на единичную длину, и ваш может отличаться от учебникового множителем, оставаясь столь же верным. Сравнивайте направления, а не числа. Нулевой вектор исключён по определению — он удовлетворял бы уравнению при любом λ и ничего бы не сообщал.
Когда собственных векторов не хватает
У матрицы n×n ровно n собственных значений с учётом кратности, но кратное собственное значение не гарантирует такого же числа независимых собственных векторов. Матрицу, у которой их не хватает, называют дефектной, и её нельзя диагонализовать: нет базиса из собственных векторов, в котором это возможно. Читать алгебраическую кратность как количество собственных векторов — одна из самых лёгких ошибок здесь.
У вещественных матриц бывают и комплексные собственные значения. У поворота плоскости нет ни одного вещественного собственного вектора — никакое вещественное направление не переживает поворот — а его собственные значения образуют комплексно-сопряжённую пару.
Как их вычисляет этот калькулятор
Собственные значения находятся численно: вращениями Якоби для симметричных матриц и QR-алгоритмом со сдвигом Уилкинсона и дефляцией в остальных случаях. Характеристический многочлен идёт другим путём — по рекуррентности Фаддеева — Леверье, которая строит коэффициенты из следов последовательных степеней и остаётся в точной арифметике, вместо того чтобы раскрывать символический определитель.
Поскольку алгоритмы для собственных значений итерационные, а не алгебраические, собственные значения — единственная операция здесь без пошагового решения: промежуточные итерации это артефакты округления, а не рассуждение, которое можно повторить вручную. Кроме того, они сходятся только к вещественным собственным значениям, поэтому матрица с комплексным спектром сообщит, что сходимости нет, вместо того чтобы придумать ответ. Обратный путь — искать собственные значения через многочлен — годится вручную до 3×3, но численно это плохая идея, потому что корни многочлена крайне чувствительны к погрешности коэффициентов.
Частые ошибки
- Ждать собственных значений от прямоугольной матрицы. Они определены только для квадратных — прямоугольный аналог это сингулярные числа.
- Считать собственный вектор единственным. Любое ненулевое кратное тоже собственный вектор; определено только направление.
- Полагать, что они всегда вещественны. У вещественной матрицы вполне могут быть комплексные собственные значения.
- Вычитать λ из каждого элемента. λI — это λ по диагонали и нули в остальных местах, так что меняется только диагональ.
- Читать кратность как число собственных векторов. Двукратный корень не обязан приносить два независимых вектора; когда не приносит, матрица дефектна.
- Терять знаковое соглашение. det(A − λI) и det(λI − A) различаются на (−1)ⁿ. Используются оба; выберите одно и держитесь его.