Calculadora de autovalores y autovectores
Encuentra los autovalores y autovectores de una matriz cuadrada, además de su polinomio característico, calculados con los algoritmos de Jacobi y QR.
Escribe una matriz cuadrada, abre la pestaña Avanzadas y usa eig(A) para los autovalores o eigvec(A) para los autovectores. La pestaña Descomposiciones ofrece además el polinomio característico en aritmética exacta.
Qué es un autovector
La mayoría de los vectores cambian de dirección cuando una matriz actúa sobre ellos. Un autovector es una de las pocas direcciones que sobreviven: la matriz solo lo estira o lo encoge. El factor por el que lo hace es el autovalor. Formalmente, A·v = λ·v para un vector v no nulo.
Salen de la ecuación característica det(A − λI) = 0, donde reaparece el determinante. En una matriz 2×2 esa ecuación es de segundo grado; resolverla da los dos autovalores.
Ejemplo resuelto
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
El autovector de λ = 3 es (1, 1): la matriz triplica cualquier cosa a lo largo de esa diagonal. Para λ = 1 es (1, −1), que la matriz deja intacto.
Una limitación que conviene conocer
Esta calculadora obtiene los autovalores numéricamente: rotaciones de Jacobi para matrices simétricas y algoritmo QR en los demás casos. Ambos son iterativos, así que los autovalores son la única operación sin solución paso a paso: las iteraciones intermedias no enseñarían nada. Además convergen solo a autovalores reales; una matriz de rotación, cuyos autovalores son complejos, avisará de que no convergió en lugar de inventarse una respuesta.
Errores frecuentes
- Esperar autovalores de una matriz rectangular. Solo existen para matrices cuadradas; el análogo rectangular son los valores singulares.
- Tratar el autovector como único. Cualquier múltiplo no nulo de un autovector también lo es; solo la dirección está determinada.
- Suponer que siempre son reales. Las matrices reales pueden tener perfectamente autovalores complejos.