Escribe una matriz cuadrada, abre la pestaña Avanzadas y usa eig(A) para los autovalores o eigvec(A) para los autovectores. La pestaña Descomposiciones da además el polinomio característico en aritmética exacta. Los tres son vistas distintas de la misma pregunta, que el resto de esta página desarrolla.
Qué es un autovector
La mayoría de los vectores cambian de dirección cuando una matriz actúa sobre ellos. Un autovector es una de las raras direcciones que sobreviven: la matriz solo lo estira o lo encoge. El factor por el que lo hace es el autovalor. Formalmente, A·v = λ·v para un vector v no nulo.
Todo lo que una matriz hace con el espacio es una mezcla de estiramientos a lo largo de esas direcciones especiales, y por eso aparecen siempre que una transformación lineal necesita entenderse y no solo aplicarse: análisis de componentes principales, modos de vibración, estabilidad de una ecuación diferencial, el vector de PageRank.
El polinomio característico
La ecuación que los define, A·v = λ·v, se reescribe como (A − λI)·v = 0. Un v no nulo solo puede resolverla si A − λI es singular —de lo contrario la única solución es v = 0— y una matriz es singular exactamente cuando su determinante se anula. Así que los autovalores son los valores de λ que hacen det(A − λI) = 0, y esa expresión es el polinomio característico.
En una matriz n×n tiene grado n, y dos de sus coeficientes se leen directamente de la matriz sin desarrollar nada: el coeficiente justo por debajo del término principal es el opuesto de la traza, y el término independiente es el determinante salvo un signo (−1)ⁿ. Ambos sirven como excelente comprobación de un cálculo hecho a mano.
Ejemplo resuelto
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
Las raíces 1 y 3 son los autovalores. Fíjate en las comprobaciones: la traza es 4 y el coeficiente de λ es −4; el determinante es 3 y el término independiente también. El autovector de λ = 3 es (1, 1) —la matriz triplica cualquier cosa a lo largo de esa diagonal— y el de λ = 1 es (1, −1), que la matriz deja intacto. Los dos son perpendiculares, y no por casualidad: esta matriz es simétrica, y las matrices simétricas siempre tienen autovectores ortogonales y autovalores reales.
Los autovectores nunca son únicos
Si v sirve, también sirven 2v, −v y cualquier múltiplo no nulo: la ecuación solo determina la dirección. Por eso las calculadoras devuelven un representante, normalmente normalizado a longitud 1, y el tuyo puede diferir del del libro en un factor de escala siendo igual de correcto. Compara direcciones, no elementos. El vector nulo queda excluido por definición: satisfaría la ecuación para cualquier λ y no diría nada.
Cuando no hay autovectores suficientes
Una matriz n×n tiene exactamente n autovalores contando multiplicidades, pero un autovalor repetido no garantiza el mismo número de autovectores independientes. La matriz que se queda corta se llama defectiva, y no puede diagonalizarse: no existe una base de autovectores en la que hacerlo. Leer la multiplicidad algebraica como un recuento de autovectores es uno de los errores más fáciles de cometer aquí.
Las matrices reales también pueden tener autovalores complejos. Un giro en el plano no tiene ningún autovector real —ninguna dirección real sobrevive a un giro— y sus autovalores forman un par complejo conjugado.
Cómo los calcula esta calculadora
Los autovalores se obtienen numéricamente: rotaciones de Jacobi para matrices simétricas, y algoritmo QR con desplazamiento de Wilkinson y deflación en los demás casos. El polinomio característico sigue otro camino: la recurrencia de Faddeev–LeVerrier, que construye los coeficientes a partir de las trazas de potencias sucesivas y se mantiene en aritmética exacta en lugar de desarrollar un determinante simbólico.
Como los algoritmos de autovalores son iterativos y no algebraicos, los autovalores son la única operación de aquí sin solución paso a paso: las iteraciones intermedias son artefactos de redondeo, no un razonamiento que puedas reproducir a mano. Además convergen solo a autovalores reales, así que una matriz de espectro complejo avisa de que no convergió en vez de inventarse una respuesta. El camino inverso —hallar autovalores a partir del polinomio— funciona bien hasta 3×3 a mano, pero es mala idea numéricamente, porque las raíces de un polinomio son extremadamente sensibles al error en los coeficientes.
Errores frecuentes
- Esperar autovalores de una matriz rectangular. Solo están definidos para matrices cuadradas: el análogo rectangular son los valores singulares.
- Tratar el autovector como único. Cualquier múltiplo no nulo de un autovector también es autovector; solo la dirección está determinada.
- Suponer que siempre son reales. Las matrices reales pueden tener perfectamente autovalores complejos.
- Restar λ a todos los elementos. λI es λ en la diagonal y cero en el resto, así que solo cambia la diagonal.
- Leer la multiplicidad como número de autovectores. Una raíz doble no tiene por qué traer dos autovectores independientes; cuando no lo hace, la matriz es defectiva.
- Perder el convenio de signo. det(A − λI) y det(λI − A) difieren en (−1)ⁿ. Se usan ambos; elige uno y mantenlo.