Escribe tu matriz arriba, abre la pestaña Avanzadas y pulsa det(A). El resultado aparece al instante; al abrir el panel paso a paso verás cómo se ha llegado a él y podrás alternar entre cuatro métodos distintos para la misma matriz, algo útil cuando en clase se ha explicado uno en concreto. Lo que sigue explica qué significa ese número y cómo funciona cada método, para que puedas reproducir el resultado a mano.
Qué dice el determinante
Es un único número, definido solo para matrices cuadradas, y su función más importante es responder a una pregunta: ¿es invertible esta matriz? Un determinante nulo significa que la matriz es singular: sus filas son linealmente dependientes, no existe inversa, y un sistema construido con ella o no tiene solución o tiene infinitas. Cualquier valor distinto de cero significa que la matriz es invertible.
Geométricamente es el factor por el que la transformación escala el área en 2D o el volumen en 3D. Un determinante de −2 duplica las áreas e invierte la orientación; un determinante de 0 aplasta el espacio sobre una recta o un punto, que es justamente por lo que la operación no puede deshacerse. El signo no es un detalle que convenga descartar: registra si la transformación conserva la orientación o la refleja.
La fórmula 2×2
En una matriz 2×2 el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria:
| a | b |
| c | d |
Así, para [[1, 2], [3, 4]] el determinante es 1·4 − 2·3 = −2. Las barras verticales son la notación estándar del determinante: no son valor absoluto, y el resultado sale negativo con frecuencia.
La regla de Sarrus (solo 3×3)
En matrices 3×3, copia las dos primeras columnas a la derecha, suma los tres productos que bajan hacia la derecha y resta los tres que bajan hacia la izquierda. Sobre la matriz cargada arriba:
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
Sarrus es rápida y fácil de recordar, pero solo sirve para 3×3. No existe una versión 4×4 de la regla, e inventarla es uno de los errores más clásicos de examen. Por encima de 3×3 necesitas cofactores o eliminación.
Desarrollo de Laplace (cofactores)
Elige cualquier fila o columna y escribe el determinante como la suma de sus elementos multiplicados por sus cofactores. El cofactor C(i,j) es (−1)^(i+j) por el menor complementario: el determinante de la matriz sin la fila i ni la columna j.
El desarrollo por cofactores vale para cualquier tamaño, y es el método que conviene a mano cuando una fila o columna tiene muchos ceros: cada cero elimina un menor entero antes incluso de calcularlo. Su coste, sin embargo, crece como n!, así que es inviable para matrices grandes: un determinante 20×20 por cofactores exigiría más operaciones que átomos tiene una persona.
Eliminación gaussiana
Es lo que hace un ordenador, y lo que hace esta calculadora de 4×4 en adelante. Reduce la matriz a forma triangular superior con operaciones elementales de fila y multiplica la diagonal. Tres reglas mantienen la contabilidad en orden:
- Intercambiar dos filas multiplica el determinante por −1.
- Multiplicar una fila por k multiplica el determinante por k.
- Sumar un múltiplo de una fila a otra deja el determinante intacto: es la operación de trabajo, y la razón de que la eliminación resulte barata.
El coste ronda las n³/3 operaciones en lugar de n!. La misma factorización que produce el resultado es la descomposición LU, así que una sola eliminación te entrega el determinante y los factores a la vez.
El método de Montante
También llamado algoritmo de Bareiss, o eliminación libre de fracciones. Hace la misma eliminación descrita arriba, pero tras cada etapa divide cada elemento por el pivote anterior. Esa división sale siempre exacta, así que una matriz de enteros sigue siendo entera de principio a fin: no aparece ninguna fracción en ningún momento, y el último pivote es el propio determinante.
A mano es el método que mantiene limpia la aritmética en una matriz de enteros, porque nunca arrastras un denominador. Es también el que conviene cuando los elementos son exactos y quieres que el resultado también lo sea. Selecciónalo en el panel paso a paso para ver la misma matriz resuelta sin una sola fracción.
Propiedades que conviene memorizar
det(Aᵀ) = det(A): lo que vale para las filas vale para las columnasdet(A·B) = det(A)·det(B)det(A⁻¹) = 1 / det(A)det(k·A) = kⁿ·det(A)en una matriz n×n: el escalar afecta a cada una de las n filas- En una matriz triangular, el determinante es el producto de su diagonal
- El determinante es el producto de los autovalores, igual que la traza es su suma
Errores frecuentes
- Usar Sarrus en una 4×4. No existe versión 4×4 de la regla. Usa eliminación o cofactores.
- Leer las barras como valor absoluto.
|A|es notación estándar del determinante, y es negativo con frecuencia. - Olvidar el signo al intercambiar filas. Cada intercambio durante la eliminación multiplica el determinante por −1.
- Esperar que
det(A + B) = det(A) + det(B). Es falso. Los determinantes se multiplican, no se suman. - Calcular el determinante de una matriz rectangular. No está definido. En una matriz no cuadrada lo que casi seguro buscas es el rango.