Rellena las matrices A y B arriba y pulsa A × B. El botón se desactiva cuando los tamaños no encajan, con un aviso que indica qué dimensiones deben coincidir. Abre los pasos para ver cada elemento desarrollado como suma de productos, exactamente como lo escribirías a mano. La misma pestaña incluye suma, resta y transpuesta, y las pestañas Escalares y Potencia cubren k·A y Aⁿ: todo ello explicado abajo.
La regla de las dimensiones
Para multiplicar una matriz m×n por una n×p, los números interiores deben ser iguales: las columnas de A tienen que coincidir con las filas de B. El resultado es m×p, los números exteriores. Por eso A × B puede ser perfectamente válido mientras B × A ni siquiera está definido.
La regla fila por columna
El elemento (i, j) del producto es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B:
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
Comprueba el primer elemento: 1·5 + 2·7 = 19. Cada uno de los cuatro elementos es su propio producto escalar, y la calculadora imprime los cuatro desarrollos en el panel de pasos.
AB no es BA
La multiplicación de matrices no es conmutativa. A menudo BA ni siquiera está definida, y cuando ambos productos existen suelen ser matrices distintas. Invertir el orden de un producto de transformaciones cambia de verdad lo que ocurre: girar y luego reflejar no es lo mismo que reflejar y luego girar. Pulsa los dos botones con el mismo par y compara.
Un aviso más: A·B = 0 no implica que A o B sean nulas. Las matrices tienen divisores de cero, a diferencia de los números corrientes.
Lo que sí se cumple
- Asociativa:
(A·B)·C = A·(B·C) - Distributiva:
A·(B + C) = A·B + A·C - Identidad:
I·A = A·I = A - La transpuesta invierte el orden:
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - Los determinantes se multiplican:
det(A·B) = det(A)·det(B) - El rango no puede crecer:
rango(A·B) ≤ mín(rango(A), rango(B))
Suma, resta y escalares
La suma y la resta son las operaciones que se comportan exactamente como esperarías: elemento a elemento, sin sorpresas. Las dos matrices deben tener las mismas dimensiones —una 2×3 solo se puede sumar con otra 2×3— y el resultado conserva esas dimensiones.
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 6 | 8 |
| 10 | 12 |
Como trabaja por posiciones, la suma hereda la aritmética que ya conoces: A + B = B + A, y el agrupamiento de una suma triple da igual. Es un contraste real con la multiplicación. La resta es la suma del opuesto, así que A − B es A + (−1)·B y el orden importa del modo corriente en que 5 − 3 difiere de 3 − 5.
La multiplicación por un escalar escala cada elemento por el mismo número, sin ninguna exigencia de forma. Una consecuencia sorprende a casi todo el mundo: escalar una matriz no multiplica su determinante por k. En una matriz n×n, det(k·A) = kⁿ·det(A), porque se escala cada una de las n filas y el determinante se multiplica una vez por cada una. Duplicar una 3×3 multiplica su determinante por ocho. La traza, al ser una suma simple, se comporta como esperas: tr(k·A) = k·tr(A).
Transpuesta
Transponer refleja la matriz respecto de su diagonal principal: el elemento de la fila i, columna j pasa a la fila j, columna i. Una matriz m×n se convierte en n×m, así que la operación está definida para cualquier forma. Un vector columna se convierte en vector fila, y por eso xᵀy es la forma estándar de escribir un producto escalar.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
Tres identidades merecen memorizarse. Transponer dos veces devuelve la original: (Aᵀ)ᵀ = A. Transponer una suma distribuye: (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. Pero transponer un producto invierte el orden: (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ, no Aᵀ·Bᵀ. La inversión la fuerzan las formas: si A es 2×3 y B es 3×4, entonces Aᵀ es 3×2 y Bᵀ es 4×3, y solo Bᵀ·Aᵀ tiene dimensiones compatibles. Una matriz igual a su propia transpuesta se llama simétrica, y las simétricas se portan especialmente bien: sus autovalores son siempre reales, y son las que admite la descomposición de Cholesky.
Potencias
Aⁿ significa multiplicar A por sí misma n veces, y solo tiene sentido en matrices cuadradas. A⁰ es la identidad, no una matriz de ceros, y A¹ es la propia A.
| 1 | 1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | n |
| 0 | 1 |
Elevar al cuadrado no es elemento a elemento: la esquina superior derecha es 1·1 + 1·1 = 2, no 1² = 1. La calculadora usa exponenciación por cuadrados sucesivos, así que A¹⁶ cuesta cuatro multiplicaciones en vez de quince. Las potencias aparecen siempre que un proceso se repite: en una cadena de Markov, si P guarda las probabilidades de transición de un paso, Pⁿ guarda las de n pasos. En una matriz de adyacencia, el elemento (i, j) de Aⁿ cuenta los caminos de longitud n del vértice i al j. Para exponentes muy grandes, diagonaliza: si A = P·D·P⁻¹ con D diagonal, entonces Aⁿ = P·Dⁿ·P⁻¹, algo que empieza por los autovalores.
Errores frecuentes
- Multiplicar elemento a elemento. La multiplicación de matrices no es
a(i,j)·b(i,j). Esa operación existe —el producto de Hadamard— pero no es lo que significaA × B. - Suponer que AB = BA. La multiplicación de matrices no es conmutativa.
- Concluir que un factor es nulo.
A·B = 0no significa que A o B sean nulas. - Escribir (A·B)ᵀ = Aᵀ·Bᵀ. El orden se invierte. Es el desliz más común con transpuestas.
- Elevar cada elemento a la potencia. A² es A·A, no la matriz de los cuadrados. Solo coinciden en matrices diagonales.
- Sumar un escalar a una matriz. A + 3 no significa nada. Para sumar 3 en la diagonal, suma 3·I.