Füllen Sie oben die Matrizen A und B aus und klicken Sie auf A × B. Die Schaltfläche ist deaktiviert, wenn die Größen nicht passen, mit einem Hinweis, welche Dimensionen übereinstimmen müssen. Öffnen Sie den Rechenweg, um jeden Eintrag als Summe von Produkten zu sehen — genau so, wie Sie es von Hand aufschreiben würden. Im selben Reiter liegen auch Addition, Subtraktion und Transponierte, und die Reiter Skalare und Potenz decken k·A und Aⁿ ab — alles unten erklärt.
Die Dimensionsregel
Um eine m×n-Matrix mit einer n×p-Matrix zu multiplizieren, müssen die inneren Zahlen gleich sein: Die Spaltenzahl von A muss der Zeilenzahl von B entsprechen. Das Ergebnis ist m×p — die äußeren Zahlen. Deshalb kann A × B völlig zulässig sein, während B × A gar nicht definiert ist.
Die Regel Zeile mal Spalte
Der Eintrag (i, j) des Produkts ist das Skalarprodukt aus Zeile i von A und Spalte j von B:
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
Prüfen Sie den ersten Eintrag: 1·5 + 2·7 = 19. Jeder der vier Einträge ist ein eigenes Skalarprodukt, und der Rechner schreibt alle vier im Rechenweg aus.
AB ist nicht BA
Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Oft ist BA nicht einmal definiert, und wenn beide Produkte existieren, sind es meist verschiedene Matrizen. Die Reihenfolge eines Produkts von Abbildungen umzudrehen, ändert wirklich, was passiert — erst drehen, dann spiegeln ist nicht dasselbe wie erst spiegeln, dann drehen. Klicken Sie beide Schaltflächen mit demselben Paar an und vergleichen Sie.
Noch eine Warnung: A·B = 0 bedeutet nicht, dass A oder B null ist. Matrizen haben Nullteiler, anders als gewöhnliche Zahlen.
Was dennoch gilt
- Assoziativ:
(A·B)·C = A·(B·C) - Distributiv:
A·(B + C) = A·B + A·C - Einheitsmatrix:
I·A = A·I = A - Die Transponierte dreht um:
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - Determinanten multiplizieren sich:
det(A·B) = det(A)·det(B) - Der Rang kann nicht wachsen:
Rang(A·B) ≤ min(Rang(A), Rang(B))
Addition, Subtraktion und Skalare
Addition und Subtraktion verhalten sich genau so, wie man es sich wünscht: eintragsweise, ohne Überraschungen. Beide Matrizen müssen dieselben Dimensionen haben — eine 2×3 lässt sich nur zu einer anderen 2×3 addieren — und das Ergebnis behält diese Dimensionen.
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 6 | 8 |
| 10 | 12 |
Weil sie positionsweise arbeitet, erbt die Addition die Ihnen vertraute Arithmetik: A + B = B + A, und die Klammerung einer dreifachen Summe spielt keine Rolle. Das ist ein echter Gegensatz zur Multiplikation. Die Subtraktion ist die Addition des Negativen, also ist A − B gleich A + (−1)·B, und die Reihenfolge zählt auf die gewöhnliche Weise, in der sich 5 − 3 von 3 − 5 unterscheidet.
Die Skalarmultiplikation streckt jeden Eintrag mit derselben Zahl, ganz ohne Formvoraussetzung. Eine Folge überrascht fast jeden: Eine Matrix zu skalieren, multipliziert ihre Determinante nicht mit k. Bei einer n×n-Matrix gilt det(k·A) = kⁿ·det(A), weil jede der n Zeilen skaliert wird und die Determinante für jede einmal multipliziert wird. Eine 3×3 zu verdoppeln, verachtfacht ihre Determinante. Die Spur, eine schlichte Summe, verhält sich erwartungsgemäß: tr(k·A) = k·tr(A).
Transponierte
Transponieren spiegelt die Matrix an ihrer Hauptdiagonale: Der Eintrag in Zeile i, Spalte j wandert nach Zeile j, Spalte i. Aus m×n wird n×m, die Operation ist also für jede Form definiert. Ein Spaltenvektor wird zum Zeilenvektor, und deshalb ist xᵀy die übliche Schreibweise für ein Skalarprodukt.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
Drei Identitäten lohnen das Auswendiglernen. Zweimal transponieren ergibt das Original: (Aᵀ)ᵀ = A. Bei einer Summe verteilt sich die Transposition: (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. Bei einem Produkt aber dreht sie die Reihenfolge um: (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ, nicht Aᵀ·Bᵀ. Die Umkehrung erzwingen die Formate — ist A 2×3 und B 3×4, dann ist Aᵀ 3×2 und Bᵀ 4×3, und nur Bᵀ·Aᵀ passt zusammen. Eine Matrix, die ihrer eigenen Transponierten gleicht, heißt symmetrisch, und symmetrische Matrizen sind ungewöhnlich gutartig: Ihre Eigenwerte sind stets reell, und sie sind es, auf die die Cholesky-Zerlegung anwendbar ist.
Potenzen
Aⁿ heißt, A n-mal mit sich selbst zu multiplizieren, und ergibt nur für quadratische Matrizen einen Sinn. A⁰ ist die Einheitsmatrix, keine Nullmatrix, und A¹ ist A selbst.
| 1 | 1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | n |
| 0 | 1 |
Quadrieren ist nicht eintragsweise: Der Eintrag oben rechts ist 1·1 + 1·1 = 2, nicht 1² = 1. Der Rechner benutzt binäre Exponentiation, sodass A¹⁶ vier statt fünfzehn Multiplikationen kostet. Potenzen tauchen überall dort auf, wo sich ein Vorgang wiederholt: Enthält P in einer Markow-Kette die Übergangswahrscheinlichkeiten für einen Schritt, dann enthält Pⁿ die für n Schritte. In einer Adjazenzmatrix zählt der Eintrag (i, j) von Aⁿ die Wege der Länge n von i nach j. Für sehr große Exponenten diagonalisieren Sie: Ist A = P·D·P⁻¹ mit diagonalem D, dann ist Aⁿ = P·Dⁿ·P⁻¹ — das beginnt bei den Eigenwerten.
Häufige Fehler
- Eintrag für Eintrag multiplizieren. Die Matrizenmultiplikation ist nicht
a(i,j)·b(i,j). Diese Operation gibt es — das Hadamard-Produkt — aber sie ist nicht gemeint. - Annehmen, AB = BA. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
- Auf einen Nullfaktor schließen.
A·B = 0heißt nicht, dass A oder B null ist. - (A·B)ᵀ = Aᵀ·Bᵀ schreiben. Die Reihenfolge dreht sich um. Das ist der häufigste Fehler beim Transponieren.
- Jeden Eintrag potenzieren. A² ist A·A, nicht die Matrix der Quadrate. Beides stimmt nur bei Diagonalmatrizen überein.
- Einen Skalar zu einer Matrix addieren. A + 3 ist bedeutungslos. Um 3 auf der Diagonale zu addieren, addieren Sie 3·I.