Preencha as matrizes A e B acima e clique em A × B. O botão fica desabilitado quando os tamanhos não batem, com um aviso dizendo quais dimensões precisam coincidir. Abra os passos para ver cada elemento expandido como soma de produtos — exatamente como você escreveria na mão. A mesma aba tem soma, subtração e transposta, e as abas Escalares e Potência cobrem k·A e Aⁿ — tudo explicado abaixo.
A regra das dimensões
Para multiplicar uma matriz m×n por uma n×p, os números de dentro precisam ser iguais: as colunas de A têm que bater com as linhas de B. O resultado é m×p — os números de fora. É por isso que A × B pode ser perfeitamente válido enquanto B × A nem existe.
A regra linha por coluna
O elemento (i, j) do produto é o produto escalar da linha i de A pela coluna j de B:
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
Confira o primeiro elemento: 1·5 + 2·7 = 19. Cada um dos quatro elementos é um produto escalar próprio, e a calculadora imprime as quatro expansões no painel de passos.
AB não é BA
A multiplicação de matrizes não é comutativa. Muitas vezes BA nem existe, e quando os dois produtos existem eles costumam ser matrizes diferentes. Inverter a ordem de um produto de transformações realmente muda o que acontece — girar e depois refletir não é o mesmo que refletir e depois girar. Clique nos dois botões com o mesmo par e compare.
Mais um alerta: A·B = 0 não implica que A ou B seja nula. Matrizes têm divisores de zero, ao contrário dos números comuns.
O que continua valendo
- Associatividade:
(A·B)·C = A·(B·C) - Distributividade:
A·(B + C) = A·B + A·C - Identidade:
I·A = A·I = A - A transposta inverte a ordem:
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - Determinantes se multiplicam:
det(A·B) = det(A)·det(B) - O posto não cresce:
posto(A·B) ≤ mín(posto(A), posto(B))
Soma, subtração e escalares
Soma e subtração são as operações que se comportam exatamente como você esperaria: elemento a elemento, sem surpresa. As duas matrizes precisam ter as mesmas dimensões — uma 2×3 só pode ser somada a outra 2×3 — e o resultado mantém essas dimensões.
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 6 | 8 |
| 10 | 12 |
Como trabalha por posição, a soma herda a aritmética que você já conhece: A + B = B + A, e o agrupamento de uma soma tripla não importa. É um contraste real com a multiplicação. A subtração é a soma do oposto, então A − B é A + (−1)·B e a ordem importa do jeito comum, como 5 − 3 difere de 3 − 5.
A multiplicação por escalar escala cada elemento pelo mesmo número, sem exigência nenhuma de formato. Uma consequência surpreende quase todo mundo: escalar uma matriz não multiplica o determinante por k. Numa matriz n×n, det(k·A) = kⁿ·det(A), porque cada uma das n linhas é escalada e o determinante é multiplicado uma vez por linha. Dobrar uma 3×3 multiplica o determinante por oito. O traço, sendo uma soma simples, se comporta como esperado: tr(k·A) = k·tr(A).
Transposta
Transpor reflete a matriz em torno da diagonal principal: o elemento da linha i, coluna j vai para a linha j, coluna i. Uma matriz m×n vira n×m, então a operação existe para qualquer formato. Um vetor coluna vira vetor linha, e é por isso que xᵀy é a forma padrão de escrever um produto escalar.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
Três identidades valem a memorização. Transpor duas vezes devolve a original: (Aᵀ)ᵀ = A. Transpor uma soma distribui: (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. Mas transpor um produto inverte a ordem: (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ, e não Aᵀ·Bᵀ. A inversão é forçada pelos formatos — se A é 2×3 e B é 3×4, então Aᵀ é 3×2 e Bᵀ é 4×3, e só Bᵀ·Aᵀ tem dimensões compatíveis. Uma matriz igual à própria transposta é chamada de simétrica, e matrizes simétricas são especialmente bem comportadas: seus autovalores são sempre reais, e são elas que a decomposição de Cholesky aceita.
Potências
Aⁿ significa multiplicar A por si mesma n vezes, e só faz sentido para matrizes quadradas. A⁰ é a identidade, e não uma matriz de zeros, e A¹ é a própria A.
| 1 | 1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | n |
| 0 | 1 |
Elevar ao quadrado não é elemento a elemento: o canto superior direito é 1·1 + 1·1 = 2, e não 1² = 1. A calculadora usa exponenciação por quadrados sucessivos, então A¹⁶ custa quatro multiplicações em vez de quinze. Potências aparecem sempre que um processo se repete: numa cadeia de Markov, se P guarda as probabilidades de transição de um passo, Pⁿ guarda as de n passos. Numa matriz de adjacência, o elemento (i, j) de Aⁿ conta os caminhos de comprimento n do vértice i ao j. Para expoentes muito grandes, diagonalize: se A = P·D·P⁻¹ com D diagonal, então Aⁿ = P·Dⁿ·P⁻¹, o que começa pelos autovalores.
Erros comuns
- Multiplicar elemento por elemento. Multiplicação de matrizes não é
a(i,j)·b(i,j). Essa operação existe — o produto de Hadamard — mas não é o queA × Bsignifica. - Supor que AB = BA. A multiplicação de matrizes não é comutativa.
- Concluir que um fator é nulo.
A·B = 0não significa que A ou B seja nula. - Escrever (A·B)ᵀ = Aᵀ·Bᵀ. A ordem se inverte. É o deslize mais comum com transpostas.
- Elevar cada elemento à potência. A² é A·A, e não a matriz dos quadrados. As duas coincidem só em matrizes diagonais.
- Somar um escalar a uma matriz. A + 3 não significa nada. Para somar 3 na diagonal, some 3·I.