Isi matriks A dan B di atas lalu tekan A × B. Tombolnya nonaktif bila ukurannya tidak cocok, disertai catatan tentang dimensi mana yang harus sama. Buka langkah-langkahnya untuk melihat setiap entri dijabarkan sebagai jumlah hasil kali, persis seperti Anda menuliskannya dengan tangan. Tab yang sama juga memuat penjumlahan, pengurangan, dan transpos, sementara tab Skalar dan Pangkat menangani k·A dan Aⁿ — semuanya dijelaskan di bawah.
Aturan dimensi
Untuk mengalikan matriks m×n dengan n×p, angka bagian dalam harus sama: kolom A harus cocok dengan baris B. Hasilnya m×p — angka bagian luar. Itulah sebabnya A × B bisa sah sepenuhnya sementara B × A bahkan tak terdefinisi.
Aturan baris kali kolom
Entri (i, j) hasil kalinya adalah hasil kali titik baris i dari A dengan kolom j dari B:
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
Periksa entri pertama: 1·5 + 2·7 = 19. Masing-masing dari keempat entri adalah hasil kali titiknya sendiri, dan kalkulator mencetak keempat penjabaran itu di panel langkah.
AB bukan BA
Perkalian matriks tidak komutatif. Sering kali BA bahkan tak terdefinisi, dan ketika kedua hasil kali ada, biasanya keduanya matriks yang berbeda. Membalik urutan hasil kali transformasi benar-benar mengubah apa yang terjadi — memutar lalu mencerminkan tidak sama dengan mencerminkan lalu memutar. Tekan kedua tombol pada pasangan yang sama lalu bandingkan.
Satu peringatan lagi: A·B = 0 tidak berarti A atau B nol. Matriks punya pembagi nol, tidak seperti bilangan biasa.
Yang tetap berlaku
- Asosiatif:
(A·B)·C = A·(B·C) - Distributif:
A·(B + C) = A·B + A·C - Identitas:
I·A = A·I = A - Transpos membalik urutan:
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - Determinan saling mengalikan:
det(A·B) = det(A)·det(B) - Rank tak bisa bertambah:
rank(A·B) ≤ min(rank(A), rank(B))
Penjumlahan, pengurangan, dan skalar
Penjumlahan dan pengurangan adalah operasi yang berperilaku persis seperti yang Anda harapkan: entri per entri, tanpa kejutan. Kedua matriks harus berdimensi sama — 2×3 hanya bisa dijumlahkan dengan 2×3 yang lain — dan hasilnya mempertahankan dimensi itu.
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 6 | 8 |
| 10 | 12 |
Karena bekerja per posisi, penjumlahan mewarisi aritmetika yang sudah Anda kenal: A + B = B + A, dan pengelompokan jumlah tiga suku tidak berpengaruh. Ini kontras nyata dengan perkalian. Pengurangan adalah penjumlahan dengan lawan, jadi A − B sama dengan A + (−1)·B, dan urutannya menentukan dengan cara biasa sebagaimana 5 − 3 berbeda dari 3 − 5.
Perkalian skalar mengalikan setiap entri dengan bilangan yang sama, tanpa syarat bentuk sama sekali. Satu akibatnya mengejutkan hampir semua orang: menskalakan matriks tidak mengalikan determinannya dengan k. Untuk matriks n×n, det(k·A) = kⁿ·det(A), karena setiap dari n baris diskalakan dan determinannya dikalikan sekali untuk tiap baris. Menggandakan matriks 3×3 melipatkan determinannya delapan kali. Trace, yang cuma penjumlahan biasa, berperilaku sesuai dugaan: tr(k·A) = k·tr(A).
Transpos
Transpos mencerminkan matriks terhadap diagonal utamanya: entri di baris i kolom j berpindah ke baris j kolom i. Matriks m×n menjadi n×m, jadi operasinya terdefinisi untuk bentuk apa pun. Vektor kolom menjadi vektor baris, dan itulah sebabnya xᵀy adalah cara baku menuliskan hasil kali titik.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
Tiga kesamaan layak dihafal. Transpos dua kali mengembalikan aslinya: (Aᵀ)ᵀ = A. Transpos suatu jumlah terdistribusi: (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. Tetapi transpos suatu hasil kali membalikurutannya: (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ, bukan Aᵀ·Bᵀ. Pembalikan itu dipaksa oleh bentuknya — bila A berukuran 2×3 dan B 3×4, maka Aᵀ adalah 3×2 dan Bᵀ adalah 4×3, dan hanya Bᵀ·Aᵀ yang dimensinya cocok. Matriks yang sama dengan transposnya sendiri disebut simetris, dan matriks simetris berperilaku luar biasa baik: nilai eigennya selalu real, dan merekalah yang bisa dikenai dekomposisi Cholesky.
Pangkat
Aⁿ berarti mengalikan A dengan dirinya sendiri n kali, dan hanya masuk akal untuk matriks persegi. A⁰ adalah matriks identitas, bukan matriks nol, dan A¹ adalah A itu sendiri.
| 1 | 1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | n |
| 0 | 1 |
Mengkuadratkan bukan per entri: entri kanan atasnya 1·1 + 1·1 = 2, bukan 1² = 1. Kalkulator memakai eksponensiasi dengan pengkuadratan, jadi A¹⁶ hanya butuh empat perkalian, bukan lima belas. Pangkat muncul di mana pun sebuah proses berulang: dalam rantai Markov, bila P memuat peluang transisi satu langkah, maka Pⁿ memuat peluang untuk n langkah. Dalam matriks ketetanggaan, entri (i, j) dari Aⁿ menghitung lintasan sepanjang n dari simpul i ke j. Untuk pangkat yang sangat besar, diagonalisasikan: bila A = P·D·P⁻¹ dengan D diagonal, maka Aⁿ = P·Dⁿ·P⁻¹, dan itu bermula dari nilai eigen.
Kesalahan umum
- Mengalikan entri per entri. Perkalian matriks bukan
a(i,j)·b(i,j). Operasi itu ada — hasil kali Hadamard — tetapi bukan itu artiA × B. - Menganggap AB = BA. Perkalian matriks tidak komutatif.
- Menyimpulkan salah satu faktor nol.
A·B = 0tidak berarti A atau B nol. - Menulis (A·B)ᵀ = Aᵀ·Bᵀ. Urutannya terbalik. Ini kekeliruan paling umum soal transpos.
- Memangkatkan tiap entri. A² adalah A·A, bukan matriks kuadrat tiap entri. Keduanya sama hanya pada matriks diagonal.
- Menambahkan skalar ke matriks. A + 3 tidak bermakna. Untuk menambah 3 di diagonal, tambahkan 3·I.