Ketik matriks Anda, buka tab Lanjutan, lalu tekan A⁻¹. Bila matriksnya singular Anda mendapat pesan yang jelas, bukan jawaban yang salah. Panel langkah demi langkah menampilkan nilai antara sebagai pecahan eksak — 3/5, bukan 0,6000000001 — karena ia bekerja dengan aritmetika rasional, bukan bilangan titik-mengambang.
Kapan invers itu ada
Invers A⁻¹ adalah matriks yang membatalkan matriks asalnya: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Ia hanya ada untuk matriks persegi, dan hanya bila determinannya tidak nol. Matriks berdeterminan nol disebut singular, dan sama sekali tidak punya invers — tidak yang besar, tidak yang hampiran, tidak ada. Transformasinya memusnahkan informasi, dan tak ada matriks yang bisa memulihkannya.
Jalan pintas 2×2
Tukar diagonal utama, balik tanda diagonal samping, bagi dengan determinan:
| a | b |
| c | d |
| d | −b |
| −c | a |
Pembagian oleh ad − bc adalah tempat kesingularan menyatakan diri: bila determinannya nol tidak ada yang bisa dijadikan pembagi, dan rumusnya runtuh persis ketika inversnya berhenti ada.
Gauss-Jordan pada matriks yang diperbesar
Ini metode umumnya, dan inilah yang ditampilkan kalkulator langkah demi langkah. Tulis A di samping matriks identitas, lalu jalankan operasi baris sampai separuh kiri menjadi identitas. Apa pun yang menjadi separuh kanannya, itulah A⁻¹:
| 4 | 7 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 3/5 | −7/10 |
| 0 | 1 | −1/5 | 2/5 |
Bila pada suatu titik satu baris di kiri menjadi nol seluruhnya, berhentilah: matriksnya singular dan inversnya tidak ada. Selalu periksa dengan mengalikan — A·A⁻¹ harus menghasilkan persis matriks identitas, dan tombol A × B melakukan pemeriksaan itu dalam dua klik.
Matriks 3×3 yang dimuat di atas menghasilkan bilangan bulat, karena determinannya persis −1:
| 2 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| −2 | 1 | 3 |
| 3 | −1 | −5 |
Perhatikan baris terakhir matriks aslinya: ia memungut koordinat pertama dan membuang dua lainnya. Inversnya harus mengembalikan informasi itu, dan karena itulah entrinya besar dibandingkan matriks yang dibaliknya. Itulah pola umumnya — makin dekat determinan ke nol, makin besar inversnya, sebab det(A⁻¹) = 1/det(A).
Rumus adjoin (kofaktor)
A⁻¹ = adj(A) / det(A), dengan adjoin adalah transpos matriks kofaktor. Bentuk matriks kofaktor C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transposkan, lalu bagi dengan determinan.
Rumus ini elegan dan dipakai dalam pembuktian, karena menyatakan invers dalam bentuk tertutup alih-alih sebagai hasil sebuah algoritma. Ia juga tidak praktis: butuh n² determinan berukuran n−1. Di atas 3×3, pakailah Gauss-Jordan.
Nyaris singular pun sudah masalah
Matriks tak perlu singular untuk merepotkan. Bila determinannya sekadar kecil dibandingkan besar entrinya, matriks itu berkondisi buruk: perubahan sangat kecil pada masukan menghasilkan perubahan sangat besar pada inversnya, dan dalam titik-mengambang perubahan itu bisa jadi murni galat pembulatan. Menyelesaikan sistem lewat invers semacam itu dapat memberi jawaban tanpa satu digit pun yang benar, tetapi tampak sangat masuk akal.
Itulah alasan praktis di balik saran berikut. Panel langkah demi langkah di sini menghindari masalah itu sepenuhnya dengan bekerja dalam pecahan eksak, jadi yang Anda baca adalah invers yang sebenarnya, bukan hampirannya.
Mengapa Anda jarang benar-benar butuh inversnya
Sebagian besar waktu, invers bukanlah tujuan — menyelesaikan Ax = b yang jadi tujuan — dan invers hanyalah jalan yang teringat dari kelas. Itu jalan yang mahal. Menghitung A⁻¹ lalu mengalikan menghabiskan kira-kira tiga kali lipat perhitungan dibandingkan mereduksi [A | b] secara langsung, dan kehilangan ketelitian di dua tahap, bukan satu.
Invers benar-benar berguna ketika yang Anda perlukan adalah matriksnya sendiri, bukan satu penyelesaian: untuk membaca seberapa besar tiap masukan memengaruhi tiap keluaran, untuk menggabungkannya dengan transformasi lain, atau untuk memasukkannya ke rumus yang ditulis dalam A⁻¹. Kalau Anda hanya ingin x, pakai eliminasi; kalau butuh banyak penyelesaian untuk A yang sama, pakai dekomposisi LU, yang bahkan lebih murah.
Kesalahan umum
- Membalik entri satu per satu. Invers bukan matriks kebalikan tiap entri —
1/a(i,j)tak ada hubungannya. - Salah urutan.
(A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹, bukanA⁻¹·B⁻¹. - Menyelesaikan sistem lewat invers. Untuk
Ax = b, mereduksi[A | b]lebih sedikit operasinya dan lebih teliti secara numerik. - Memakai adjoin pada matriks besar. Ia butuh
n²determinan berorden−1. Di atas 3×3 jauh lebih lambat daripada eliminasi. - Mengacaukan invers dengan transpos. Keduanya bertepatan hanya pada matriks ortogonal. Secara umum keduanya tidak berhubungan.