Geben Sie Ihre Matrix ein, öffnen Sie den Reiter Erweitert und klicken Sie auf A⁻¹. Ist die Matrix singulär, erhalten Sie eine klare Meldung statt eines falschen Ergebnisses. Der Rechenweg zeigt die Zwischenwerte als exakte Brüche — 3/5 statt 0,6000000001 — weil er mit rationaler Arithmetik statt mit Gleitkommazahlen rechnet.
Wann eine Inverse existiert
Die Inverse A⁻¹ ist die Matrix, die die ursprüngliche rückgängig macht: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Sie existiert nur für quadratische Matrizen und nur dann, wenn die Determinante ungleich null ist. Eine Matrix mit Determinante null heißt singulär und hat überhaupt keine Inverse — keine große, keine ungefähre, gar keine. Die Abbildung hat Information vernichtet, und keine Matrix holt sie zurück.
Die 2×2-Abkürzung
Hauptdiagonale vertauschen, Nebendiagonale im Vorzeichen umkehren, durch die Determinante teilen:
| a | b |
| c | d |
| d | −b |
| −c | a |
Die Division durch ad − bc ist die Stelle, an der sich die Singularität meldet: Ist die Determinante null, gibt es nichts, wodurch man teilen könnte, und die Formel bricht genau dann zusammen, wenn die Inverse nicht existiert.
Gauß-Jordan auf der erweiterten Matrix
Das ist das allgemeine Verfahren und das, was der Rechner Schritt für Schritt zeigt. Schreiben Sie A neben die Einheitsmatrix und formen Sie so lange um, bis die linke Hälfte zur Einheitsmatrix wird. Was aus der rechten Hälfte geworden ist, ist A⁻¹:
| 4 | 7 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 3/5 | −7/10 |
| 0 | 1 | −1/5 | 2/5 |
Wird links irgendwann eine Zeile vollständig null, hören Sie auf: Die Matrix ist singulär, und die Inverse existiert nicht. Prüfen Sie das Ergebnis immer durch Multiplikation — A·A⁻¹ muss exakt die Einheitsmatrix ergeben, und die Schaltfläche A × B erledigt diese Kontrolle mit zwei Klicks.
Die oben geladene 3×3-Matrix ergibt ganze Zahlen, denn ihre Determinante ist genau −1:
| 2 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| −2 | 1 | 3 |
| 3 | −1 | −5 |
Sehen Sie sich die letzte Zeile der Ausgangsmatrix an: Sie greift die erste Koordinate heraus und verwirft die beiden anderen. Die Inverse muss diese Information wieder herstellen, und deshalb sind ihre Einträge groß im Vergleich zur Matrix, die sie invertiert. Das ist das allgemeine Muster — je näher die Determinante an null liegt, desto größer wird die Inverse, denn det(A⁻¹) = 1/det(A).
Die Adjunktenformel (Kofaktoren)
A⁻¹ = adj(A) / det(A), wobei die Adjunkte die Transponierte der Kofaktorenmatrix ist. Bilden Sie die Kofaktorenmatrix C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transponieren Sie sie und teilen Sie durch die Determinante.
Sie ist elegant und wird in Beweisen verwendet, weil sie die Inverse als geschlossene Formel ausdrückt statt als Ergebnis eines Algorithmus. Sie ist außerdem unpraktikabel: Sie verlangt n² Determinanten der Größe n−1. Ab 4×4 nehmen Sie Gauß-Jordan.
Fast singulär ist schon ein Problem
Eine Matrix muss nicht singulär sein, um Ärger zu machen. Ist die Determinante nur klein im Verhältnis zur Größe der Einträge, ist die Matrix schlecht konditioniert: Eine winzige Änderung der Eingabe erzeugt eine gewaltige Änderung der Inversen, und in Gleitkomma kann diese Änderung reiner Rundungsfehler sein. Ein Gleichungssystem über eine solche Inverse zu lösen, kann eine Antwort liefern, in der keine einzige Stelle stimmt und die trotzdem plausibel aussieht.
Das ist der praktische Grund für den Rat weiter unten. Der Rechenweg hier umgeht das Problem vollständig, indem er in exakten Brüchen arbeitet: Was Sie lesen, ist die wahre Inverse und keine Gleitkomma-Näherung davon.
Warum Sie die Inverse selten wirklich brauchen
Meistens ist die Inverse nicht das Ziel — Ax = b zu lösen ist es, und die Inverse ist nur der Weg, den man aus dem Unterricht behalten hat. Es ist der teure Weg. A⁻¹ zu berechnen und dann zu multiplizieren, kostet etwa das Dreifache an Rechenaufwand gegenüber der direkten Umformung von [A | b], und es verliert Genauigkeit in zwei Stufen statt in einer.
Ihren Platz verdient die Inverse dort, wo Sie die Matrix selbst brauchen und nicht eine Lösung: um abzulesen, wie stark jede Eingabe auf jede Ausgabe wirkt, um sie mit anderen Abbildungen zu verketten, oder um sie in eine Formel einzusetzen, die in A⁻¹ formuliert ist. Wollen Sie nur x, nehmen Sie die Elimination; brauchen Sie viele Lösungen zur gleichen Matrix A, nehmen Sie die LU-Zerlegung, die noch billiger ist.
Häufige Fehler
- Die Einträge einzeln invertieren. Die Inverse ist nicht die Matrix der Kehrwerte —
1/a(i,j)hat damit nichts zu tun. - Die Reihenfolge vertauschen.
(A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹, nichtA⁻¹·B⁻¹. - Gleichungssysteme über die Inverse lösen. Für
Ax = bist die Umformung von[A | b]weniger Aufwand und numerisch genauer. - Die Adjunkte bei großen Matrizen verwenden. Sie braucht
n²Determinanten der Ordnungn−1und ist ab 4×4 weit langsamer als die Elimination. - Inverse und Transponierte verwechseln. Sie fallen nur bei orthogonalen Matrizen zusammen. Im Allgemeinen haben sie nichts miteinander zu tun.