行列を入力し、応用タブを開いて A⁻¹ を押してください。行列が特異な場合は、誤った答えではなく明確なメッセージが返ります。計算過程では途中の値が正確な分数で表示されます。0.6000000001 ではなく 3/5 になるのは、浮動小数点ではなく有理数の演算を使っているからです。
逆行列が存在する条件
正方行列であること、そして行列式が 0 でないことです。逆行列は元の変換を打ち消す行列で、A·A⁻¹ = I を満たします。特異行列の「近似的な逆行列」というものはありません。行列式が 0 なら情報そのものが失われており、取り戻す手立てがないからです。
例題
掃き出し法では、行列の隣に単位行列を書き、左半分を I になるまで変形します。
| 4 | 7 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 3/5 | −7/10 |
| 0 | 1 | −1/5 | 2/5 |
右半分に残ったものが逆行列です。必ず掛け算で確かめてください。A·A⁻¹ はちょうど単位行列になるはずで、A × B ボタンならその確認が 2 クリックで済みます。
よくある間違い
- 成分をひとつずつ逆数にする。逆行列は逆数を並べた行列ではなく、
1/a(i,j)とは無関係です。 - 順序を取り違える。正しくは
(A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹であってA⁻¹·B⁻¹ではありません。 - 逆行列で連立方程式を解く。
Ax = bなら[A | b]を掃き出すほうが演算回数も少なく、数値的にも安定します。 - 大きな行列に余因子行列を使う。
n−1次の行列式がn²個必要で、3×3 を超えると掃き出し法よりはるかに遅くなります。