上の欄に行列を入力し、応用タブを開いて det(A) を押してください。答えはすぐに表示されます。計算過程のパネルを開けば、どうやってその値に至ったかが分かり、同じ行列について四つの方法を切り替えることもできます。授業で特定の方法を指定されているときに便利です。
行列式が示すもの
行列式はひとつの数で、正方行列にしか定義されません。そして何より、この行列は逆行列を持つかという問いに答えます。行列式が 0 なら行列は特異で、行が線形従属、逆行列は存在せず、それを係数とする連立方程式は解を持たないか無限に持つかのどちらかです。0 でなければ必ず逆行列があります。
幾何的には、その変換が平面の面積や空間の体積を何倍にするかという係数です。行列式が −2 なら面積は 2 倍になり向きが反転します。行列式が 0 なら空間は直線や点につぶれてしまい、だからこそその変換は元に戻せません。
例題
3×3 の行列では、サラスの規則が右下がりの積 3 つを足し、左下がりの積 3 つを引きます。
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
この計算機は 2×2 と 3×3 には閉じた公式を使い、4×4 以上では部分ピボット付きの LU 分解に切り替えます。余因子展開は n! 回の演算を要し、50×50 のはるか手前で使い物にならなくなるからです。
よくある間違い
- 4×4 にサラスの規則を使う。4 次版の規則は存在しません。掃き出し法か余因子展開を使ってください。
- 縦線を絶対値と読む。
|A|は行列式の標準的な記法で、値はしばしば負になります。 - 行の交換で符号を忘れる。掃き出しの途中で行を 1 回入れ替えるたびに、行列式は −1 倍されます。
det(A + B) = det(A) + det(B)だと思う。これは誤りです。行列式は積については乗法的ですが、和については何も成り立ちません。