Введите матрицу выше, откройте вкладку Дополнительно и нажмите det(A). Ответ появляется сразу; в панели пошагового решения видно, как он получен, и там же можно переключаться между четырьмя методами для одной и той же матрицы — удобно, когда на занятиях требовали конкретный. Ниже разобрано, что означает это число и как работает каждый из методов, чтобы вы могли повторить вычисление вручную.
Что говорит определитель
Это одно число, определённое только для квадратных матриц, и главная его задача — ответить на один вопрос: обратима ли эта матрица? Нулевой определитель означает, что матрица вырожденная: её строки линейно зависимы, обратной не существует, а построенная на ней система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. Любое ненулевое значение означает обратимость.
Геометрически это коэффициент, на который преобразование растягивает площадь в 2D или объём в 3D. Определитель −2 удваивает площади и меняет ориентацию; определитель 0 сплющивает пространство в прямую или точку — именно поэтому такое преобразование нельзя обратить. Знак не мелочь, которую стоит отбрасывать: он фиксирует, сохраняет преобразование ориентацию или зеркалит её.
Формула для 2×2
Для матрицы 2×2 определитель — это произведение главной диагонали минус произведение побочной:
| a | b |
| c | d |
Значит, для [[1, 2], [3, 4]] определитель равен 1·4 − 2·3 = −2. Вертикальные черты — стандартное обозначение определителя, а не модуля, и результат очень часто отрицателен.
Правило Саррюса (только 3×3)
Для матриц 3×3 припишите справа два первых столбца, сложите три произведения, идущие вниз-вправо, и вычтите три, идущие вниз-влево. Для загруженной выше матрицы:
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
Саррюс быстр и легко запоминается, но работает только для 3×3. Версии для 4×4 не существует, и попытка её изобрести — одна из самых частых ошибок на экзамене. Начиная с 4×4 нужны миноры или метод Гаусса.
Разложение Лапласа (по минорам)
Выберите любую строку или столбец и запишите определитель как сумму элементов, умноженных на их алгебраические дополнения. Дополнение C(i,j) равно (−1)^(i+j), умноженному на минор — определитель матрицы без строки i и столбца j.
Разложение годится для любого размера и вручную удобнее всего, когда в строке или столбце много нулей: каждый ноль убирает целый минор ещё до того, как вы его посчитаете. Но стоимость растёт как n!, поэтому для больших матриц метод безнадёжен — определитель 20×20 по минорам потребовал бы больше операций, чем в человеке атомов.
Метод Гаусса
Так считает компьютер, и так этот калькулятор считает начиная с 4×4. Приведите матрицу к верхнетреугольному виду элементарными преобразованиями строк и перемножьте диагональ. Три правила держат учёт честным:
- Перестановка двух строк умножает определитель на −1.
- Умножение строки на k умножает определитель на k.
- Прибавление кратного одной строки к другой не меняет определитель — это рабочая операция и причина, по которой метод Гаусса дёшев.
Стоимость — порядка n³/3 операций вместо n!. То же самое разложение, которое даёт ответ, — это LU-разложение, так что одно приведение сразу даёт и определитель, и множители.
Метод Монтанте
Его же называют алгоритмом Барейса, или бездробным исключением. Он выполняет то же приведение, что и выше, но после каждого шага делит все элементы на предыдущий ведущий элемент. Это деление всегда выходит нацело, поэтому целочисленная матрица остаётся целочисленной от начала до конца — дроби не появляются нигде, а последний ведущий элемент и есть определитель.
Вручную это метод, который сохраняет арифметику чистой на целочисленной матрице, потому что вы никогда не тащите за собой знаменатель. Его же стоит взять, когда элементы точные и ответ тоже должен быть точным. Выберите его в панели пошагового решения, чтобы увидеть ту же матрицу разобранной без единой дроби.
Свойства, которые стоит помнить
det(Aᵀ) = det(A)— что верно для строк, верно и для столбцовdet(A·B) = det(A)·det(B)det(A⁻¹) = 1 / det(A)det(k·A) = kⁿ·det(A)для матрицы n×n — скаляр попадает в каждую из n строк- У треугольной матрицы определитель равен произведению диагонали
- Определитель — произведение собственных значений, так же как след — их сумма
Частые ошибки
- Применять Саррюса к 4×4. Версии правила для 4×4 нет. Используйте метод Гаусса или миноры.
- Читать черты как модуль.
|A|— стандартное обозначение определителя, и он часто отрицателен. - Забывать знак при перестановке строк. Каждая перестановка в ходе приведения умножает определитель на −1.
- Ожидать, что
det(A + B) = det(A) + det(B). Это неверно. Определители перемножаются, а не складываются. - Считать определитель прямоугольной матрицы. Он не определён. Для неквадратной матрицы вам почти наверняка нужен ранг.