Введите матрицу выше, откройте вкладку Расширенные и нажмите det(A). Ответ появится сразу; в панели пошагового решения видно, как он получен, и там же можно переключаться между четырьмя методами для одной и той же матрицы — удобно, когда на занятиях требуют конкретный.
Что показывает определитель
Это одно число, определённое только для квадратных матриц, и отвечает оно прежде всего на один вопрос: обратима ли эта матрица? Если определитель равен нулю, матрица вырожденная — её строки линейно зависимы, обратной матрицы нет, а система на её основе либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много. Любое ненулевое значение означает обратимость.
Геометрически это коэффициент, на который преобразование растягивает площадь на плоскости или объём в пространстве. Определитель −2 удваивает площади и меняет ориентацию; определитель 0 сплющивает пространство в прямую или точку — именно поэтому такое преобразование нельзя обратить.
Разобранный пример
Для матрицы 3×3 правило Саррюса складывает три произведения по диагоналям вправо вниз и вычитает три по диагоналям влево вниз:
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
Калькулятор применяет готовые формулы для 2×2 и 3×3, а начиная с 4×4 переходит к LU-разложению с частичным выбором главного элемента — разложение по минорам требует n! операций и становится непригодным задолго до 50×50.
Частые ошибки
- Применять Саррюса к матрице 4×4. Для 4×4 такого правила нет. Используйте метод Гаусса или разложение по минорам.
- Читать вертикальные черты как модуль.
|A|— стандартное обозначение определителя, и он очень часто отрицателен. - Забывать знак при перестановке строк. Каждая перестановка в ходе исключения умножает определитель на −1.
- Ожидать, что
det(A + B) = det(A) + det(B). Это неверно. Определители перемножаются, но не складываются.