Введите матрицу — для системы уравнений расширенную — и нажмите RREF(A). В пошаговом решении каждое преобразование названо явно.
Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид
В ступенчатом виде каждая строка начинается правее предыдущей, а под каждым ведущим элементом стоят нули. Улучшенный вид дополнительно требует, чтобы каждый ведущий элемент равнялся единице и чтобы в его столбце нули стояли и сверху. Улучшенный вид единствен: у матрицы он ровно один, каким бы путём его ни получали.
Именно поэтому он удобен для решения систем. Когда система приведена к улучшенному ступенчатому виду, ответ читается напрямую, без обратного хода. Столбцы без ведущего элемента отвечают свободным переменным, и их количество — размерность пространства решений.
Разобранный пример
Система x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22 в виде расширенной матрицы:
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 0 | 0 | −8 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | −2 |
Решение читается в последнем столбце: x = −8, y = 1, z = −2. А вот строка вида 0 = c с ненулевым c означала бы, что система несовместна.
Частые ошибки
- Останавливаться на ступенчатом виде. Чтобы читать ответ напрямую, нули нужны и над ведущими элементами.
- Умножать строку на ноль. Это недопустимое преобразование: оно уничтожает уравнение, а не переписывает его.
- Забывать про столбец свободных членов. Каждое преобразование затрагивает строку целиком, включая правую часть.
- Принимать нулевую строку за противоречие. Она означает лишнее уравнение, то есть бесконечно много решений.