Введите матрицу, откройте вкладку Разложения и нажмите RREF(A). Панель шагов открывается сама и перечисляет каждое преобразование в стандартной записи, так что решение можно переписать прямо в тетрадь и найти, где разошлась ваша собственная попытка. Кнопка Ступенчатый вид(A) даёт обычный метод Гаусса, а rang(A) — ранг; все три выходят из одного алгоритма, разобранного ниже.
Три элементарных преобразования строк
Приведение — самый полезный алгоритм линейной алгебры. Ранг, определитель, обратная матрица и решение системы получаются из него. Он опирается на три операции, ни одна из которых не меняет множество решений исходной системы:
- Поменять две строки местами:
R(i) ↔ R(j) - Умножить строку на ненулевое число:
R(i) → k·R(i) - Прибавить к строке кратное другой:
R(i) → R(i) + k·R(j)
Умножения строки на ноль в списке нет, и оно недопустимо: это уничтожает уравнение вместо того, чтобы переписать его.
Ступенчатый вид
Матрица имеет ступенчатый вид, когда:
- полностью нулевые строки стоят внизу;
- каждый первый ненулевой элемент (ведущий) стоит строго правее ведущего элемента строки выше;
- всё под ведущим элементом равно нулю.
| 2 | 1 | −1 |
| 0 | 3 | 2 |
| 0 | 0 | 5 |
Улучшенный ступенчатый вид
Улучшенный вид идёт дальше: каждый ведущий элемент равен 1 и является единственным ненулевым в своём столбце. И, что важнее всего, у любой матрицы улучшенный ступенчатый вид ровно один — результат не зависит от порядка, в котором вы выполняли преобразования. Именно эта единственность делает его надёжным эталоном для сверки собственного решения.
Алгоритм по шагам
- Начните с левого верхнего угла. Найдите наибольший элемент текущего столбца — это частичный выбор главного элемента, он держит ошибки округления малыми.
- Если весь столбец нулевой, сдвиньтесь на столбец вправо и повторите.
- Поднимите эту строку в позицию ведущего элемента.
- Разделите ведущую строку на сам ведущий элемент, чтобы он стал равен 1.
- Вычтите кратные ведущей строки из всех остальных, обнулив остаток столбца.
- Спуститесь на строку, сдвиньтесь на столбец и повторите.
Если применять шаг 5 только к строкам ниже ведущей, получится метод Гаусса и ступенчатый вид. Если чистить и выше — получится Гаусс-Жордан и улучшенный вид. Гаусс-Жордан требует больше вычислений; взамен решение читается без обратного хода.
Разобранный пример
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 6 | 5 |
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Второй столбец так и не получает ведущего элемента, поэтому его переменная свободная, а нулевая строка подтверждает, что третье уравнение не несло новой информации. Читаем результат: ранг равен 2, и система с такой матрицей коэффициентов имеет бесконечно много решений с одним свободным параметром.
Решение системы линейных уравнений
Введите систему как расширенную матрицу: строка на уравнение, столбец на неизвестную и последний столбец для свободных членов. Три уравнения с тремя неизвестными дают матрицу 3×4. Каждое преобразование применяется ко всей строке, включая столбец свободных членов. Возьмём x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22:
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 0 | −1 | 1 | −3 |
| 0 | 0 | −1 | 2 |
Последняя строка говорит −z = 2, значит z = −2. Подставляя вверх, получаем y = 1, а затем x = −8. Три возможных исхода читаются по улучшенному виду:
- Единственное решение: у каждого столбца матрицы коэффициентов есть ведущий элемент.
- Бесконечно много: какой-то столбец остался без ведущего элемента — эти переменные свободные.
- Решений нет: есть строка вида
0 0 0 | cсc ≠ 0, утверждающая, что 0 = c.
Ранг: считаем то, что уцелело
Ранг матрицы — это число линейно независимых строк, оно же число линейно независимых столбцов. Эти два числа всегда совпадают, и факт достаточно важен, чтобы иметь имя: теорема о равенстве строчного и столбцового ранга. Чтобы вычислить ранг, приведите матрицу и посчитайте ненулевые строки. Преобразования строк ранг никогда не меняют — именно поэтому это работает.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 5 | 7 | 9 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | −3 | −6 |
| 0 | 0 | 0 |
Здесь третья строка — это в точности первая плюс вторая, поэтому она ничего не добавляет, и приведение обнуляет её. Для матрицы m×n ранг ≤ min(m, n); матрица, достигшая этой границы, имеет полный ранг. Для квадратной матрицы полный ранг — то же самое, что обратимость, и то же самое, что ненулевой определитель: три формулировки одного свойства.
Ранг же решает, разрешима ли система вообще. Теорема Кронекера — Капелли говорит, что Ax = b совместна ровно тогда, когда ранг(A) = ранг([A | b]); если этот общий ранг равен числу неизвестных, решение единственно, иначе остаётся n − ранг свободных параметров. Парная к ней тождественность — теорема о ранге и дефекте: ранг(A) + dim ker(A) = n.
Частые ошибки
- Останавливаться на обычном ступенчатом виде. Обнуление только под ведущими элементами даёт ступенчатый вид. Улучшенный чистит и над ними.
- Оставлять ведущий элемент, отличный от 1. Улучшенный вид требует делить каждую ведущую строку на её ведущий элемент.
- Менять местами столбцы. Менять строки можно; менять столбцы — значит менять, какая переменная какая.
- Не заметить противоречивую строку. Строка
0 0 0 | cс c ≠ 0 означает, что решений у системы нет вовсе. - Считать нулевую строку признаком несовместности. Полностью нулевая строка — это лишнее уравнение, значит решений бесконечно много. Только
0 = cс ненулевым c означает их отсутствие. - Считать ненулевые строки, не закончив приведение. Зависимость строк проявляется только к концу. Приведите полностью, а потом считайте.