行列を入力し——連立方程式なら拡大係数行列を入力し—— RREF(A) を押してください。計算過程では、行った変形がひとつずつ明記されます。
階段行列と簡約階段行列
階段行列では、各行の先頭がひとつ上の行より右から始まり、各主成分の下はすべて 0 になります。簡約階段行列はさらに、各主成分が 1 であること、その列の上側も 0 であることを要求します。簡約階段行列は一意です。どんな順序で変形しても、ひとつの行列に対してひとつしかありません。
連立方程式を解くのに向いているのはそのためです。簡約階段行列まで持っていけば、後退代入なしに解をそのまま読み取れます。主成分を持たない列は自由変数に対応し、その個数が解空間の次元になります。
例題
連立方程式 x + 2y − z = −4、2x + 3y − z = −11、−2x − 3z = 22 を拡大係数行列で書くと：
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 0 | 0 | −8 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | −2 |
解は最後の列に現れます。x = −8、y = 1、z = −2 です。逆に、c を 0 でない数として 0 = c という形の行が出たら、その連立方程式は解を持ちません。
よくある間違い
- 階段行列で止めてしまう。解をそのまま読み取るには、主成分の上も 0 にする必要があります。
- 行を 0 倍する。許される変形ではありません。方程式を書き換えるのではなく消してしまうからです。
- 定数の列を忘れる。どの変形も右辺を含めた行全体に対して行います。
- 零行を矛盾だと思う。零行は方程式が余分だったことを意味し、解は無限に存在します。