اكتب مصفوفتك، وافتح تبويب التحليلات، ثم اضغط RREF(A). ينفتح عرض الخطوات من تلقائه ويسرد كل عملية بالترميز المعتاد، فيمكنك نقل الحل مباشرة إلى دفترك ومعرفة أين حادت محاولتك. واضغط الصورة الدرجية(A) لحذف غاوس البسيط، أو rank(A) للرتبة — والثلاثة تخرج من الخوارزمية نفسها المشروحة أدناه.
العمليات الأولية الثلاث على الصفوف
الاختزال أنفع خوارزمية في الجبر الخطي. فمنه تخرج الرتبة والمحدد والمعكوس وحلّ النظام الخطي جميعًا. وهو يقوم على ثلاث عمليات، لا تغيّر أي منها مجموعة حلول النظام الأصلي:
- تبديل صفين:
S(i) ↔ S(j) - ضرب صف في عدد غير صفري:
S(i) → k·S(i) - إضافة مضاعف لصف إلى صف آخر:
S(i) → S(i) + k·S(j)
وضرب صف في صفر ليس في القائمة، وهو غير مشروع: فهو يتلف معادلة بدل أن يعيد كتابتها.
الصورة الدرجية
تكون المصفوفة في الصورة الدرجية حين:
- تقع الصفوف الصفرية كلها في الأسفل؛
- يقع كل عنصر أول غير صفري (العنصر المحوري) إلى يمين محور الصف الذي فوقه تمامًا؛
- يكون كل ما تحت العنصر المحوري أصفارًا.
| 2 | 1 | −1 |
| 0 | 3 | 2 |
| 0 | 0 | 5 |
الصورة الدرجية المختزلة
والصورة المختزلة تمضي أبعد: كل عنصر محوري يساوي 1 وهو العنصر غير الصفري الوحيد في عموده. والأهم: لكل مصفوفة صورة درجية مختزلة واحدة بالضبط — فالنتيجة لا تتوقف على ترتيب إجرائك للعمليات. وهذه الوحدانية هي ما يجعلها مرجعًا موثوقًا تقارن به حلّك.
الخوارزمية خطوة بخطوة
- ابدأ من أعلى اليسار. ابحث عن أكبر عنصر في العمود الحالي — وهذا الاختيار الجزئي للعنصر المحوري، وهو يُبقي أخطاء التقريب صغيرة.
- وإن كان العمود كله أصفارًا فتقدّم عمودًا واحدًا وأعد المحاولة.
- ارفع ذلك الصف إلى موضع المحور.
- اقسم صف المحور على المحور نفسه ليصير 1.
- اطرح مضاعفات صف المحور من سائر الصفوف لتصفير بقية العمود.
- انزل صفًا وتقدّم عمودًا وكرّر.
وتطبيق الخطوة 5 على الصفوف التي تحت المحور وحدها يعطي حذف غاوس والصورة الدرجية. وتنظيف ما فوقها أيضًا يعطي غاوس-جوردان والصورة المختزلة. وغاوس-جوردان أكثر حسابًا، ومقابل ذلك يُقرأ الحل من دون تعويض عكسي.
مثال محلول
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 6 | 5 |
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
لم ينل العمود الثاني محورًا قط، فمتغيره حر — والصف الصفري يؤكد أن المعادلة الثالثة لم تحمل معلومة جديدة. وبقراءة الصورة: الرتبة 2، ولنظام مصفوفة معاملاته هذه ما لا نهاية من الحلول بوسيط حر واحد.
حلّ نظام خطي
أدخل النظام على شكل مصفوفة موسعة: صف لكل معادلة، وعمود لكل مجهول، وعمود أخير للثوابت. فثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل تعطي مصفوفة 3×4. وكل عملية على الصف تسري على الصف كاملًا، بما فيه عمود الثوابت. خذ x + 2y − z = −4 و2x + 3y − z = −11 و−2x − 3z = 22:
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 0 | −1 | 1 | −3 |
| 0 | 0 | −1 | 2 |
يقول الصف الأخير إن −z = 2، فيكون z = −2. وبالتعويض صعودًا نجد y = 1 ثم x = −8. وتُقرأ الحالات الثلاث الممكنة من الصورة المختزلة:
- حل وحيد: لكل عمود من مصفوفة المعاملات محور.
- ما لا نهاية من الحلول: بقي عمود بلا محور، ومتغيراته حرة.
- لا حل: يظهر صف
0 0 0 | cمعc ≠ 0، وهو يقرر أن 0 = c.
الرتبة: عدّ ما بقي
رتبة المصفوفة هي عدد صفوفها المستقلة خطيًا — وهي كذلك عدد أعمدتها المستقلة خطيًا. والعددان متساويان دائمًا، وهي حقيقة بلغت من الأهمية أن صار لها اسم: مبرهنة تساوي رتبة الصفوف ورتبة الأعمدة. ولحسابها اختزل المصفوفة وعُدّ الصفوف غير الصفرية. والعمليات على الصفوف لا تغيّر الرتبة أبدًا، وهذا بالضبط سبب نجاح الطريقة.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 5 | 7 | 9 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | −3 | −6 |
| 0 | 0 | 0 |
فالصف الثالث هنا هو الأول مضافًا إليه الثاني بالضبط، فلا يضيف شيئًا ويصفّره الاختزال. وفي مصفوفة m×n تكون الرتبة ≤ min(m, n)، والمصفوفة التي تبلغ هذا الحد ذات رتبة تامة. وفي المصفوفة المربعة تكون الرتبة التامة هي عينها قابلية العكس، وهي عينها أن يكون المحدد غير صفري — ثلاث صياغات لخاصية واحدة.
والرتبة كذلك هي ما يقرر إن كان النظام قابلًا للحل أصلًا. تقول مبرهنة روشيه-كابيلي إن Ax = b متوافق تمامًا حين تكون rank(A) = rank([A | b])؛ فإن ساوت هذه الرتبة المشتركة عدد المجاهيل كان الحل وحيدًا، وإلا بقي n − rank من الوسائط الحرة. والمتطابقة القرينة هي مبرهنة الرتبة والبطلان: rank(A) + nullity(A) = n.
أخطاء شائعة
- التوقف عند الصورة الدرجية البسيطة. تصفير ما تحت كل محور وحده يعطي الصورة الدرجية، أما المختزلة فتنظف ما فوقها أيضًا.
- ترك محور لا يساوي 1. تشترط الصورة المختزلة قسمة كل صف محوري على محوره.
- تبديل الأعمدة. تبديل الصفوف مسموح، أما تبديل الأعمدة فيغيّر أي متغير هو أي.
- إغفال الصف المتناقض. صفٌ فيه
0 0 0 | cمع c ≠ 0 يعني أن النظام بلا حل البتة. - عدّ الصف الصفري دليلًا على انعدام الحل. الصف الصفري كله معادلة زائدة، فالحلول عندئذ لا نهائية. ولا يعني انعدامَ الحل إلا
0 = cبـ c غير صفري. - عدّ الصفوف غير الصفرية قبل الانتهاء. لا يتبيّن ارتباط الصفوف إلا بعد اكتمال الاختزال. فاختزل تمامًا ثم عُدّ.