اكتب مصفوفة مربعة، وافتح تبويب متقدم، ثم استعمل eig(A) للقيم الذاتية أو eigvec(A) للمتجهات الذاتية. ويعطي تبويب التحليلات فوق ذلك كثيرَ الحدود المميز بحساب دقيق. والثلاثة أوجه مختلفة لسؤال واحد، تعالجه بقية هذه الصفحة.
ما المتجه الذاتي
تغيّر أكثر المتجهات اتجاهها حين تؤثر فيها مصفوفة. والمتجه الذاتي واحد من الاتجاهات النادرة التي تنجو: فالمصفوفة تمدّه أو تقلّصه لا غير. ومعامل ذلك هو القيمة الذاتية. وصوريًا، A·v = λ·v لمتجه v غير صفري.
وكل ما تصنعه المصفوفة بالفضاء مزيج من تمدّدات على امتداد هذه الاتجاهات المخصوصة، ولهذا تظهر حيثما لزم فهم تحويل خطي لا مجرد تطبيقه — تحليل المركّبات الأساسية، وأنماط الاهتزاز، واستقرار معادلة تفاضلية، ومتجه PageRank.
كثير الحدود المميز
تُعاد كتابة المعادلة المعرِّفة A·v = λ·v على صورة (A − λI)·v = 0. ولا يحلها متجه v غير صفري إلا إذا كانت A − λI شاذة — وإلا فالحل الوحيد v = 0 — والمصفوفة شاذة تمامًا حين ينعدم محددها. فالقيم الذاتية إذن هي قيم λ التي تجعل det(A − λI) = 0، وهذه العبارة هي كثير الحدود المميز.
وفي مصفوفة n×n تكون درجته n، ويُقرأ اثنان من معاملاته من المصفوفة مباشرة بلا أي نشر: فالمعامل الذي يلي الحد الرئيسي هو نظير الأثر، والحد الثابت هو المحدد إلى إشارة (−1)ⁿ. وكلاهما فحص ممتاز لحساب يدوي.
مثال محلول
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
الجذران 1 و 3 هما القيمتان الذاتيتان. ولاحظ الفحوص: الأثر 4 ومعامل λ هو −4، والمحدد 3 والحد الثابت 3 كذلك. والمتجه الذاتي عند λ = 3 هو (1, 1) — إذ تُثلِّث المصفوفة كل ما وقع على ذلك القطر — وعند λ = 1 هو (1, −1) الذي تتركه المصفوفة على حاله. والمتجهان متعامدان، وليس ذلك مصادفة: فهذه المصفوفة متماثلة، والمصفوفات المتماثلة لها دائمًا متجهات ذاتية متعامدة وقيم ذاتية حقيقية.
المتجهات الذاتية ليست وحيدة قط
فإن صلح v صلح 2v و−v وكل مضاعف غير صفري: إذ لا تقيّد المعادلة إلا الاتجاه. ولذلك تعيد الحاسبات ممثلًا واحدًا، منظَّمًا عادةً إلى الطول 1، وقد يختلف متجهك عن متجه الكتاب بمعامل تحجيم ويكون صحيحًا مثله. فقارن الاتجاهات لا العناصر. أما المتجه الصفري فمستثنى بالتعريف — إذ كان سيحقق المعادلة عند كل λ ولا يخبرك بشيء.
حين لا تكفي المتجهات الذاتية
لمصفوفة n×n بالضبط n قيمة ذاتية بعدّ التضاعف، لكن تكرار قيمة ذاتية لا يضمن العدد نفسه من المتجهات الذاتية المستقلة. والمصفوفة التي ينقصها ذلك تسمى ناقصة، ولا يمكن تقطيرها: إذ لا يوجد أساس من متجهات ذاتية يتم به ذلك. وقراءة التضاعف الجبري على أنه عدد المتجهات الذاتية من أسهل الأخطاء هنا.
وقد يكون للمصفوفات الحقيقية قيم ذاتية عقدية. فدوران المستوي لا متجه ذاتي حقيقي له البتة — إذ لا ينجو اتجاه حقيقي من دوران — وقيمتاه الذاتيتان زوج عقدي مرافق.
كيف تحسبها هذه الحاسبة
تُحسب القيم الذاتية عدديًا: بدورانات ياكوبي في المصفوفات المتماثلة، وبخوارزمية QR مع إزاحة ويلكنسون والانكماش فيما عداها. أما كثير الحدود المميز فيسلك طريقًا آخر — تكرارية فاديف–ليفيرييه، التي تبني المعاملات من آثار القوى المتتالية وتبقى في الحساب الدقيق بدل نشر محدد رمزي.
ولأن خوارزميات القيم الذاتية تكرارية لا جبرية، فإن القيم الذاتية هي العملية الوحيدة هنا بلا حلّ خطوة بخطوة: فالتكرارات الوسيطة آثار تقريب لا استدلال يمكنك إعادة إنتاجه بيدك. وهي تتقارب كذلك إلى القيم الذاتية الحقيقية وحدها، فتُبلغ مصفوفةٌ طيفُها عقدي بأنها لم تتقارب بدل أن تختلق جوابًا. أما الطريق العكسي — استخراج القيم الذاتية من كثير الحدود — فحسنٌ يدويًا حتى 3×3، لكنه عدديًا فكرة سيئة، لأن جذور كثير الحدود بالغة الحساسية لخطأ المعاملات.
أخطاء شائعة
- توقّع قيم ذاتية لمصفوفة مستطيلة. ليست معرَّفة إلا للمربعة — ونظيرها في المستطيلة القيم المفردة.
- معاملة المتجه الذاتي كأنه وحيد. كل مضاعف غير صفري لمتجه ذاتي هو متجه ذاتي كذلك، والمحدَّد هو الاتجاه وحده.
- افتراض أنها حقيقية دائمًا. قد يكون للمصفوفة الحقيقية قيم ذاتية عقدية تمامًا.
- طرح λ من كل عنصر. إن λI هي λ على القطر وأصفار في غيره، فلا يتغير إلا القطر.
- قراءة التضاعف على أنه عدد المتجهات الذاتية. الجذر المضاعف لا يلزم أن يأتي بمتجهين مستقلين، وحين لا يأتي بهما تكون المصفوفة ناقصة.
- ضياع اصطلاح الإشارة. يختلف det(A − λI) عن det(λI − A) بمقدار (−1)ⁿ. وكلاهما مستعمل، فاختر واحدًا والتزمه.