Drücken Sie eig(A) für die Eigenwerte und eigvec(A) für die zugehörigen Eigenvektoren. Das charakteristische Polynom finden Sie im Reiter Zerlegungen.
Was Eigenwerte beschreiben
Ein Eigenvektor ist eine Richtung, die die Abbildung nicht dreht: A·v = λ·v, also wird v nur gestreckt oder gestaucht, und zwar um den Eigenwert λ. Alles, was eine Matrix mit dem Raum anstellt, ist eine Überlagerung dieser Streckungen — deshalb tauchen Eigenwerte überall dort auf, wo eine lineare Abbildung verstanden und nicht bloß angewendet werden soll: Hauptkomponentenanalyse, Schwingungsmoden, Stabilität von Differentialgleichungen.
Zwei Kontrollen sind schnell gemacht und lohnen sich immer: Die Summe der Eigenwerte ist die Spur, also die Summe der Diagonaleinträge, und ihr Produkt ist die Determinante. Stimmt eines davon nicht, liegt ein Rechenfehler vor.
Beispiel
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
Die Eigenwerte sind 1 und 3; Spur 4 und Determinante 3 passen dazu. Die Eigenvektoren sind (1, −1) und (1, 1) — senkrecht zueinander, was kein Zufall ist: Diese Matrix ist symmetrisch, und symmetrische Matrizen haben stets reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren.
Häufige Fehler
- λ von jedem Eintrag abziehen. λI steht nur auf der Diagonale; alle übrigen Einträge bleiben unverändert.
- Den Nullvektor als Eigenvektor zulassen. Er ist per Definition ausgeschlossen, obwohl er die Gleichung erfüllt.
- Eindeutige Eigenvektoren erwarten. Jedes Vielfache ungleich null ist ebenfalls einer. Vergleichen Sie Richtungen, nicht Zahlen.
- Reelle Eigenwerte voraussetzen. Eine Drehmatrix hat keine reelle Richtung, die sie unverändert lässt, und damit komplexe Eigenwerte.