Geben Sie eine quadratische Matrix ein, öffnen Sie den Reiter Erweitert und verwenden Sie eig(A) für die Eigenwerte oder eigvec(A) für die Eigenvektoren. Der Reiter Zerlegungen liefert zusätzlich das charakteristische Polynom in exakter Arithmetik. Alle drei sind Sichtweisen auf dieselbe Frage, die der Rest dieser Seite durchgeht.
Was ein Eigenvektor ist
Die meisten Vektoren ändern ihre Richtung, wenn eine Matrix auf sie wirkt. Ein Eigenvektor ist eine der seltenen Richtungen, die das überleben: Die Matrix streckt oder staucht ihn nur. Der Faktor dabei ist der Eigenwert. Formal gilt A·v = λ·v für einen Vektor v ungleich null.
Alles, was eine Matrix mit dem Raum macht, ist eine Mischung aus Streckungen entlang dieser besonderen Richtungen. Deshalb tauchen sie überall dort auf, wo eine lineare Abbildung verstanden und nicht bloß angewendet werden soll — Hauptkomponentenanalyse, Schwingungsmoden, Stabilität einer Differentialgleichung, der PageRank-Vektor.
Das charakteristische Polynom
Die definierende Gleichung A·v = λ·v lässt sich zu (A − λI)·v = 0 umformen. Ein v ungleich null kann das nur lösen, wenn A − λI singulär ist — sonst ist v = 0 die einzige Lösung — und eine Matrix ist genau dann singulär, wenn ihre Determinante verschwindet. Die Eigenwerte sind also die Werte von λ, für die det(A − λI) = 0 gilt, und dieser Ausdruck ist das charakteristische Polynom.
Bei einer n×n-Matrix hat es den Grad n, und zwei seiner Koeffizienten lassen sich ohne jede Entwicklung direkt an der Matrix ablesen: Der Koeffizient direkt unter dem Leitterm ist das Negative der Spur, und das Absolutglied ist die Determinante bis auf ein Vorzeichen (−1)ⁿ. Beides eignet sich hervorragend zur Kontrolle einer Handrechnung.
Beispiel
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
Die Nullstellen 1 und 3 sind die Eigenwerte. Beachten Sie die Kontrollen: Die Spur ist 4 und der Koeffizient von λ ist −4; die Determinante ist 3, und das Absolutglied ebenfalls. Der Eigenvektor zu λ = 3 ist (1, 1) — die Matrix verdreifacht alles entlang dieser Diagonale — und zu λ = 1 ist es (1, −1), das die Matrix unangetastet lässt. Die beiden stehen senkrecht aufeinander, und das ist kein Zufall: Diese Matrix ist symmetrisch, und symmetrische Matrizen haben stets orthogonale Eigenvektoren und reelle Eigenwerte.
Eigenvektoren sind nie eindeutig
Wenn v passt, passen auch 2v, −v und jedes Vielfache ungleich null: Die Gleichung legt nur die Richtung fest. Rechner geben deshalb einen Vertreter zurück, meist auf Länge 1 normiert, und Ihrer kann sich von dem im Lehrbuch um einen Skalierungsfaktor unterscheiden und trotzdem genauso richtig sein. Vergleichen Sie Richtungen, nicht Einträge. Der Nullvektor ist per Definition ausgeschlossen — er würde die Gleichung für jedes λ erfüllen und nichts aussagen.
Wenn es zu wenige Eigenvektoren gibt
Eine n×n-Matrix hat genau n Eigenwerte mit Vielfachheit gezählt, aber ein mehrfacher Eigenwert garantiert nicht ebenso viele unabhängige Eigenvektoren. Eine Matrix, bei der es zu wenige sind, heißt defekt und lässt sich nicht diagonalisieren: Es gibt keine Basis aus Eigenvektoren, in der das ginge. Die algebraische Vielfachheit als Anzahl von Eigenvektoren zu lesen, gehört hier zu den leichtesten Fehlern.
Reelle Matrizen können außerdem komplexe Eigenwerte haben. Eine Drehung in der Ebene hat überhaupt keinen reellen Eigenvektor — keine reelle Richtung übersteht eine Drehung — und ihre Eigenwerte bilden ein konjugiert komplexes Paar.
Wie dieser Rechner sie bestimmt
Die Eigenwerte werden numerisch bestimmt: Jacobi-Rotationen bei symmetrischen Matrizen, sonst der QR-Algorithmus mit Wilkinson-Shift und Deflation. Das charakteristische Polynom geht einen anderen Weg — die Rekursion von Faddeev–LeVerrier, die die Koeffizienten aus den Spuren aufeinanderfolgender Potenzen aufbaut und dabei in exakter Arithmetik bleibt, statt eine symbolische Determinante zu entwickeln.
Weil die Eigenwertverfahren iterativ und nicht algebraisch sind, sind Eigenwerte die einzige Operation hier ohne Rechenweg: Die Zwischeniterationen sind Rundungsartefakte und kein Gedankengang, den man von Hand nachvollziehen könnte. Sie konvergieren außerdem nur gegen reelle Eigenwerte, sodass eine Matrix mit komplexem Spektrum meldet, dass sie nicht konvergiert ist, statt eine Antwort zu erfinden. Der umgekehrte Weg — Eigenwerte aus dem Polynom zu gewinnen — ist von Hand bis 3×3 in Ordnung, numerisch aber eine schlechte Idee, weil Polynomnullstellen äußerst empfindlich auf Fehler in den Koeffizienten reagieren.
Häufige Fehler
- Eigenwerte einer rechteckigen Matrix erwarten. Sie sind nur für quadratische Matrizen definiert — das rechteckige Gegenstück sind die Singulärwerte.
- Den Eigenvektor als eindeutig behandeln. Jedes Vielfache ungleich null ist ebenfalls ein Eigenvektor; festgelegt ist nur die Richtung.
- Annehmen, sie seien immer reell. Reelle Matrizen können durchaus komplexe Eigenwerte haben.
- λ von jedem Eintrag abziehen. λI trägt λ auf der Diagonale und sonst null, es ändert sich also nur die Diagonale.
- Die Vielfachheit als Anzahl der Eigenvektoren lesen. Eine doppelte Nullstelle muss keine zwei unabhängigen Eigenvektoren mitbringen — tut sie es nicht, ist die Matrix defekt.
- Die Vorzeichenkonvention verlieren. det(A − λI) und det(λI − A) unterscheiden sich um (−1)ⁿ. Beides ist üblich; wählen Sie eines und bleiben Sie dabei.