Ketik matriks persegi, buka tab Lanjutan, lalu pakai eig(A) untuk nilai eigen atau eigvec(A) untuk vektor eigen. Tab Dekomposisi juga memberi polinomial karakteristik dalam aritmetika eksak. Ketiganya adalah cara pandang berbeda atas satu pertanyaan yang sama, yang dibahas di sisa halaman ini.
Apa itu vektor eigen
Sebagian besar vektor berubah arah ketika sebuah matriks bekerja padanya. Vektor eigen adalah satu dari sedikit arah yang bertahan: matriks hanya meregangkan atau memampatkannya. Faktor perubahannya itulah nilai eigen. Secara formal, A·v = λ·v untuk vektor v yang tak nol.
Semua yang dilakukan matriks terhadap ruang adalah campuran peregangan sepanjang arah-arah istimewa itu, dan karena itulah mereka muncul di mana pun sebuah transformasi linear perlu dipahami, bukan sekadar diterapkan — analisis komponen utama, ragam getaran, kestabilan persamaan diferensial, vektor PageRank.
Polinomial karakteristik
Persamaan yang mendefinisikannya, A·v = λ·v, dapat ditulis ulang menjadi (A − λI)·v = 0. Sebuah v tak nol hanya bisa memenuhinya bila A − λI singular — kalau tidak, satu-satunya penyelesaian adalah v = 0 — dan matriks singular persis ketika determinannya lenyap. Jadi nilai eigen adalah nilai λ yang membuat det(A − λI) = 0, dan ungkapan itulah polinomial karakteristiknya.
Untuk matriks n×n derajatnya n, dan dua koefisiennya bisa dibaca langsung dari matriksnya tanpa penjabaran apa pun: koefisien tepat di bawah suku utama adalah negatif dari trace, dan suku konstantanya adalah determinan sampai tanda (−1)ⁿ. Keduanya menjadi pemeriksaan yang sangat baik bagi perhitungan manual.
Contoh terselesaikan
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
Akar 1 dan 3 adalah nilai eigennya. Perhatikan pemeriksaannya: trace-nya 4 dan koefisien λ adalah −4; determinannya 3 dan suku konstantanya juga 3. Vektor eigen untuk λ = 3 adalah (1, 1) — matriks melipattigakan apa pun sepanjang diagonal itu — dan untuk λ = 1 adalah (1, −1), yang dibiarkan matriks apa adanya. Keduanya tegak lurus, dan itu bukan kebetulan: matriks ini simetris, dan matriks simetris selalu punya vektor eigen ortogonal dan nilai eigen real.
Vektor eigen tak pernah tunggal
Bila v berlaku, maka 2v juga, dan −v, dan setiap kelipatan tak nol: persamaannya hanya membatasi arah. Karena itu kalkulator mengembalikan satu wakil, biasanya dinormalkan ke panjang satu, dan milik Anda bisa berbeda dari buku teks sebesar faktor skala namun sama benarnya. Bandingkan arah, bukan entri. Vektor nol dikecualikan menurut definisi — ia akan memenuhi persamaan untuk setiap λ dan tak mengatakan apa-apa.
Ketika vektor eigennya kurang
Matriks n×n punya tepat n nilai eigen bila dihitung dengan multiplisitasnya, tetapi nilai eigen berulang tidak menjamin jumlah vektor eigen bebas yang sama. Matriks yang jumlahnya kurang disebut cacat, dan tak bisa didiagonalisasi: tidak ada basis vektor eigen untuk melakukannya. Membaca multiplisitas aljabar sebagai cacah vektor eigen adalah salah satu kekeliruan paling mudah terjadi di sini.
Matriks real juga bisa punya nilai eigen kompleks. Rotasi pada bidang sama sekali tak punya vektor eigen real — tak ada arah real yang bertahan dari rotasi — dan nilai eigennya berupa pasangan kompleks sekawan.
Bagaimana kalkulator ini menghitungnya
Nilai eigen dihitung secara numerik: rotasi Jacobi untuk matriks simetris, dan algoritma QR dengan pergeseran Wilkinson serta deflasi untuk selainnya. Polinomial karakteristik menempuh jalur lain — rekurensi Faddeev–LeVerrier, yang menyusun koefisiennya dari trace pangkat-pangkat berurutan dan tetap dalam aritmetika eksak alih-alih menjabarkan determinan simbolik.
Karena algoritma nilai eigen bersifat iteratif dan bukan aljabar, nilai eigen adalah satu-satunya operasi di sini tanpa penyelesaian langkah demi langkah: iterasi antaranya adalah artefak pembulatan, bukan penalaran yang bisa Anda ulangi dengan tangan. Keduanya juga hanya konvergen ke nilai eigen real, sehingga matriks berspektrum kompleks melaporkan bahwa ia tidak konvergen alih-alih mengarang jawaban. Arah sebaliknya — mencari nilai eigen dari polinomialnya — cukup baik secara manual sampai 3×3, tetapi buruk secara numerik, karena akar polinomial teramat peka terhadap galat pada koefisiennya.
Kesalahan umum
- Mengharapkan nilai eigen dari matriks persegi panjang. Ia hanya terdefinisi untuk matriks persegi — padanan persegi panjangnya adalah nilai singular.
- Menganggap vektor eigen itu tunggal. Setiap kelipatan tak nol dari vektor eigen juga vektor eigen; hanya arahnya yang ditentukan.
- Mengira nilai eigen selalu real. Matriks real sangat mungkin punya nilai eigen kompleks.
- Mengurangkan λ dari setiap entri. λI adalah λ di diagonal dan nol di tempat lain, jadi hanya diagonalnya yang berubah.
- Membaca multiplisitas sebagai cacah vektor eigen. Akar rangkap dua tak harus membawa dua vektor eigen bebas — bila tidak, matriksnya cacat.
- Kehilangan kesepakatan tanda. det(A − λI) dan det(λI − A) berbeda sebesar (−1)ⁿ. Keduanya dipakai; pilih satu dan konsistenlah.