Über MatrixCalc

MatrixCalc ist ein kostenloser Online-Matrizenrechner. Er führt die üblichen Operationen der linearen Algebra aus — Addition, Subtraktion, Multiplikation, Transponierte, Determinante, Inverse, Rang, Spur, Potenzen, Eigenwerte — für Matrizen bis 50×50 und zeigt für die meisten davon den vollständigen Rechenweg, damit Sie den Gedankengang nachvollziehen können, statt nur ein Ergebnis abzuschreiben.

Warum es das gibt

Die meisten Matrizen-Werkzeuge liefern entweder eine Zahl ohne jede Erklärung oder vergraben den Rechner unter Werbung und Anmeldeschranken. Dieser läuft vollständig im Browser, verlangt kein Konto und ist so gebaut, dass er beim Kontrollieren von Hausaufgaben ebenso hilft wie bei einer schnellen, verlässlichen Antwort.

Die Erklärung zählt genauso viel wie die Zahl. Ein Rechner, der det(A) = −59 ausgibt und dort aufhört, hat Ihnen nichts gegeben, was in einer Klausur trägt. Deshalb steht auf jeder Operationsseite dieser Site die Mathematik hinter dem Knopf: was das Ergebnis bedeutet, wie man es von Hand nachvollzieht, welches Verfahren zu welcher Matrix passt und welche Fehler konkret Punkte kosten.

Wie gerechnet wird

Alles wird lokal in JavaScript berechnet — Ihre Matrizen verlassen Ihr Gerät nie. Es steckt keine Mathematik-Bibliothek dahinter; die Algorithmen sind direkt implementiert, und welcher davon läuft, hängt von der Matrix ab:

Determinanten nutzen die geschlossene Formel für 2×2 und 3×3, ab 4×4 die LU-Zerlegung mit Teilpivotisierung. Die Laplace-Entwicklung kostet n! Operationen und ist weit vor 50×50 unbrauchbar.
Inverse und Rang kommen aus der Gauß-Jordan-Elimination auf der erweiterten Matrix.
Eigenwerte nutzen Jacobi-Rotationen bei symmetrischen Matrizen, die immer konvergieren, und sonst den QR-Algorithmus mit Wilkinson-Shift und Deflation.
Das charakteristische Polynom nutzt die Faddeev–LeVerrier-Rekursion, die die Koeffizienten aus den Spuren aufeinanderfolgender Potenzen aufbaut, statt eine symbolische Determinante zu entwickeln.
Der Rechenweg läuft in einer eigenen Engine mit exakter rationaler Arithmetik — deshalb erscheinen Zwischenergebnisse als Brüche wie 3/5 statt als 0,6000000001. Eine Zeile, die exakt null werden soll, wird es auch, statt einen Rest wie 1e−16 zu hinterlassen, der als Pivot mitgezählt würde.

Wie die Ergebnisse geprüft werden

Die Rechen-Engine hat eine automatisierte Testsuite für Arithmetik, Elimination, Zerlegungen, Potenzen, Eigenwerte und die Matrixeigenschaften, und sie läuft bei jeder Änderung, bevor irgendetwas die Site erreicht. Tests sind der Weg, einen Fehler einmal statt immer wieder zu beheben: Wird ein falsches Ergebnis gemeldet, wird die fehlschlagende Matrix zuerst zum Testfall, und die Korrektur kommt danach.

Genau so wurde die Eigenwertroutine korrigiert. Eine frühere Fassung verwendete eine QR-Iteration ohne Shift, die bei ganz gewöhnlichen nicht symmetrischen Matrizen nicht konvergierte — eine Dreiecksmatrix mit den Eigenwerten 2, 3 und 4 genügte, um sie zu brechen. Die heutige Fassung nutzt den Wilkinson-Shift mit Deflation, und der Rückfall ist durch Tests abgesichert.

Bekannte Grenzen

Ergebnisse gehen bis 50×50; der Rechenweg endet bei 8×8, darüber würde er Hunderte von Matrizen ausgeben und nichts vermitteln.
Eigenwerte werden numerisch bestimmt und konvergieren nur gegen reelle Werte. Eine Matrix mit komplexem Spektrum — etwa eine Drehung — meldet, dass sie nicht konvergiert ist, statt eine Antwort zu erfinden.
Für Eigenwerte und Eigenvektoren gibt es keinen Rechenweg. Die Verfahren sind iterativ statt algebraisch, ihre Zwischenwerte also Rundungsartefakte und kein von Hand nachvollziehbarer Gedankengang.
Der Weg zum numerischen Ergebnis nutzt Gleitkomma; exakt ist nur die Rechenweg-Engine.

Sprachen

Oberfläche und erklärende Texte gibt es in zehn Sprachen: Englisch, Portugiesisch, Spanisch, Französisch, Deutsch, Russisch, Indonesisch, Chinesisch, Japanisch und Arabisch. Jede Sprache hat eigene URLs und eigenen Text — keine Seite ist die maschinelle Übersetzung einer anderen unter einer anderen Flagge. Ihre Wahl merkt sich der Browser.

Kontakt

Einen Fehler gefunden, ein falsches Ergebnis erhalten oder eine Operation vermisst? Schreiben Sie an franfactory.store@gmail.com. Bei einem falschen Ergebnis nennen Sie bitte die Matrix und die ausgeführte Operation — das beschleunigt die Korrektur erheblich.